The Global Asymptotic Stability Problem for Linear MPC Is Undecidable
作者: Johan Löfberg
分类: math.OC, eess.SY
发布日期: 2026-09-09
备注: Submitted to IEEE Transactions on Automatic Control
💡 一句话要点
证明线性模型预测控制的全局渐近稳定性问题是不可判定的
🎯 匹配领域: 支柱一：机器人控制 (Robot Control)
关键词: 线性模型预测控制 全局渐近稳定性 不可判定性 控制理论 约束优化
📋 核心要点
- 核心问题：现有方法在判断线性模型预测控制的全局渐近稳定性时面临不可判定性，限制了其应用。
- 方法要点：论文通过归约方法证明了在特定条件下，全局渐近稳定性问题的不可判定性，揭示了其根本原因。
- 实验或效果：通过多个归约，论文展示了不可判定性与时域长度、维度增长等因素无关，具有重要理论意义。
📝 摘要（中文）
本文证明了在约束有限时域线性模型预测控制中，判断全局渐近稳定性是不可判定的。该结果在时域为1的情况下成立，且状态、输入和终端权重均为单位矩阵，优化器唯一且全局可行。通过不同的归约，涵盖了预测状态框、硬输入框和二次软化输入框。第四个归约固定了状态和输入维度为三和六。因此，不可判定性并非由长时域、增长的维度、递归可行性的失败或非唯一性造成。
🔬 方法详解
问题定义：本文要解决的问题是判断约束有限时域线性模型预测控制的全局渐近稳定性。现有方法在这一问题上存在不可判定性，导致无法有效应用于实际控制系统。
核心思路：论文的核心思路是通过构造特定的归约，证明在特定条件下全局渐近稳定性问题的不可判定性。这一设计旨在揭示影响稳定性判断的根本因素，而非仅仅依赖于时域长度或维度。
技术框架：整体架构包括多个归约步骤，首先针对预测状态框进行分析，然后是硬输入框和二次软化输入框，最后固定状态和输入维度，形成完整的证明链条。
关键创新：最重要的技术创新在于通过不同的归约方法，系统性地证明了全局渐近稳定性问题的不可判定性。这一结果与现有方法的本质区别在于，它不再依赖于传统的可行性分析，而是从理论上揭示了问题的复杂性。
关键设计：在归约过程中，论文设定了特定的状态和输入维度，确保了归约的有效性和准确性。通过对不同输入框的分析，论文展示了不可判定性的普遍性。
🖼️ 关键图片
📊 实验亮点
论文通过多个归约方法，成功证明了全局渐近稳定性问题的不可判定性，强调了这一问题与时域长度、维度增长等因素无关。这一发现为控制理论提供了新的视角，具有重要的理论和实践意义。
🎯 应用场景
该研究的潜在应用领域包括自动控制系统、机器人导航和智能交通系统等。通过深入理解全局渐近稳定性问题的不可判定性，研究人员可以更好地设计控制策略，提升系统的稳定性和可靠性，具有重要的实际价值和未来影响。
📄 摘要（原文）
We prove that deciding global asymptotic stability for constrained finite-horizon linear model predictive control is undecidable. This holds at horizon one with identity state, input, and terminal weights, unique optimizers, and global feasibility. Separate reductions cover predicted-state boxes, hard input boxes, and quadratically softened input boxes. A fourth reduction fixes the state and input dimensions to three and six. Hence undecidability is not caused by long horizons, growing dimensions, failures of recursive feasibility, or nonuniqueness.