Koopman Representations for Non-Vanishing Time Intervals: An Optimization Approach and Sampling Effects

📄 arXiv: 2604.11715v1 📥 PDF

作者: Younghwan Cho, Richard Sowers

分类: eess.SY, math.OC

发布日期: 2026-04-13

💡 一句话要点

提出基于优化的Koopman特征函数学习方法，解决非均匀时间间隔采样下的动态系统数据同化问题。

🎯 匹配领域: 支柱九：具身大模型 (Embodied Foundation Models)

关键词: Koopman算子 动态系统 数据同化 特征函数学习 优化方法

📋 核心要点

  1. 现有方法在非均匀时间间隔采样下，学习Koopman特征函数时存在混叠和可辨识性问题。
  2. 将Koopman特征函数的学习转化为优化问题，通过分析优化过程来解决混叠和相位对齐问题。
  3. 实验表明，该方法在非均匀采样下优于现有方法，并验证了不规则采样恢复Koopman谱的有效性。

📝 摘要（中文）

Koopman算子理论是复杂动力系统数据同化的关键工具，具有应用于多模态数据的潜力。本文将从任意（可能非均匀）时间间隔的观测数据中学习Koopman特征函数的问题，形式化为一个优化问题。对该形式化的分析揭示了由振荡动力学和采样模式引起的混叠现象，明确了固有的可辨识性限制。该分析还发现了真实Koopman频率附近的相位对齐现象，这会产生陡峭的损失谷，需要仔细优化。此外，本文还表明，不规则采样可以打破混叠，并导致相位消除。数值结果表明，与生成器扩展动态模式分解相比，该方法在大规则时间间隔下具有有效性，并支持不规则采样有助于恢复真实Koopman谱的观点。

🔬 方法详解

问题定义：论文旨在解决从非均匀时间间隔采样的数据中学习Koopman特征函数的问题。现有方法，如动态模式分解（DMD）及其扩展，在处理非均匀采样时，容易受到混叠的影响，导致无法准确估计Koopman谱。此外，即使在均匀采样下，由于振荡动力学的影响，也存在固有的可辨识性限制。

核心思路：论文的核心思路是将Koopman特征函数的学习问题转化为一个优化问题，通过最小化观测数据与Koopman算子预测之间的差异来学习特征函数。通过分析优化问题的形式，揭示了采样模式和振荡动力学对学习过程的影响，从而更好地理解和解决混叠问题。此外，论文还强调了相位对齐的重要性，并提出了相应的优化策略。

技术框架：整体框架包括以下几个主要步骤：1) 从观测数据中构建优化问题，目标是最小化预测误差。2) 分析优化问题的形式，识别混叠和相位对齐等问题。3) 设计优化算法，例如梯度下降，来求解优化问题。4) 通过数值实验验证方法的有效性。

关键创新：论文的关键创新在于：1) 将Koopman特征函数的学习形式化为一个优化问题，从而可以利用优化理论进行分析和改进。2) 揭示了采样模式和振荡动力学对学习过程的影响，明确了固有的可辨识性限制。3) 提出了利用不规则采样来打破混叠，从而提高学习效果的策略。

关键设计：论文的关键设计包括：1) 损失函数的设计，用于衡量观测数据与Koopman算子预测之间的差异。2) 优化算法的选择，例如梯度下降，以及相应的参数设置，例如学习率。3) 采样模式的设计，包括均匀采样和不规则采样，以及相应的采样频率。

🖼️ 关键图片

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📊 实验亮点

论文通过数值实验验证了所提出方法的有效性。实验结果表明，与生成器扩展动态模式分解（GEDMD）相比，该方法在大规则时间间隔下具有更好的性能。此外，实验还验证了不规则采样可以打破混叠，从而提高Koopman谱估计的准确性。具体性能提升数据未知。

🎯 应用场景

该研究成果可应用于复杂动力系统的数据同化、预测和控制等领域，例如流体动力学、气候建模、金融市场分析和机器人控制。通过准确估计Koopman算子，可以更好地理解和预测系统的演化行为，从而实现更有效的控制和优化。

📄 摘要（原文）

Koopman operator theory is a key tool in data assimilation of complex dynamical systems, with the potential to be applied to multimodal data. We formulate the problem of learning Koopman eigenfunctions from observations at arbitrary, possibly non-vanishing, time intervals as an optimization problem. Analysis of the formulation reveals aliasing induced by oscillatory dynamics and the sampling pattern, making an inherent identifiability limit explicit. The analysis also uncovers phase alignment near the true Koopman frequency, which creates a steep loss valley and demands careful optimization. We further show that irregular sampling can break aliasing and lead to phase cancellation. Numerical results demonstrate the efficacy of the proposed method under large regular time intervals compared to generator extended dynamic mode decomposition, and support the idea that irregular sampling can help recover the true Koopman spectrum.