Unimodal self-oscillations and their sign-symmetry for discrete-time relay feedback systems with dead zone

📄 arXiv: 2603.15393v1 📥 PDF

作者: Kang Tong, Christian Grussler, Michelle S. Chong

分类: math.OC, eess.SY, math.DS

发布日期: 2026-03-16

💡 一句话要点

针对带死区离散时间继电反馈系统，提出单峰自激振荡存在性及符号对称性判据。

🎯 匹配领域: 支柱八：物理动画 (Physics-based Animation)

关键词: 继电反馈系统 自激振荡 单峰性 全正性 符号对称性

📋 核心要点

  1. 现有方法在分析离散时间继电反馈系统自激振荡时，缺乏对单峰特性的有效刻画和存在性判据。
  2. 论文利用全正性理论，提出了一种新的分析框架，通过研究环路增益的符号对称性来分析单峰自激振荡。
  3. 论文推导了单峰自激振荡的存在条件，确定了其周期的严格界限，并探讨了其唯一性，为系统设计提供了理论依据。

📝 摘要（中文）

本文研究了具有非负死区的离散时间线性时不变(LTI)继电反馈系统中的自激振荡。具体而言，旨在建立单峰自激振荡的存在性判据，单峰自激振荡被定义为输出表现出单峰周期的周期性解。假设系统的线性部分是稳定的，并且其冲激响应在其无限支撑上严格单调递减，我们提出了一种基于全正性理论的新的分析框架来解决这个问题。我们证明了在满足基于变化的温和约束条件下，单峰自激振荡的存在仅当系统环路增益的正值和负值的数量在给定的严格正周期内重合时，即自激振荡是符号对称的。基于这些发现，我们推导了这种自激振荡的存在条件，建立了其周期的严格界限，并解决了其唯一性的问题。

🔬 方法详解

问题定义：该论文旨在解决具有非负死区的离散时间线性时不变(LTI)继电反馈系统中单峰自激振荡的存在性、周期性和唯一性问题。现有方法可能缺乏对这种特定类型自激振荡的精确分析和预测能力，尤其是在存在死区的情况下，系统的非线性特性会增加分析的复杂性。因此，需要一种新的分析框架来有效地处理这些挑战。

核心思路：论文的核心思路是利用全正性理论来分析系统的环路增益，并建立单峰自激振荡与其符号对称性之间的联系。通过假设线性部分是稳定的且具有单调递减的冲激响应，可以将问题转化为研究环路增益的正负值分布。如果环路增益在给定周期内呈现符号对称性，则可能存在单峰自激振荡。这种方法利用了全正性理论的强大工具，为分析非线性系统的周期性解提供了一种新的视角。

技术框架：论文的整体框架包括以下几个主要步骤：1) 建立具有死区的离散时间继电反馈系统的数学模型。2) 假设系统的线性部分是稳定的，且具有单调递减的冲激响应。3) 利用全正性理论分析系统的环路增益。4) 推导单峰自激振荡的存在性条件，并建立其周期性的界限。5) 探讨单峰自激振荡的唯一性。该框架的核心是利用全正性理论将非线性问题转化为研究线性系统的性质，从而简化了分析过程。

关键创新：该论文的关键创新在于将全正性理论应用于分析离散时间继电反馈系统的单峰自激振荡。与传统方法相比，该方法能够更有效地处理系统的非线性特性，并提供更精确的存在性判据和周期性界限。此外，论文还发现了单峰自激振荡的符号对称性，这为理解和控制这类振荡提供了新的视角。

关键设计：论文的关键设计包括：1) 对系统线性部分的冲激响应进行单调性假设，这简化了全正性理论的应用。2) 定义了单峰自激振荡的概念，并将其与环路增益的符号对称性联系起来。3) 推导了单峰自激振荡的存在性条件，这些条件基于环路增益的正负值分布。4) 建立了单峰自激振荡周期的严格界限，这有助于预测和控制系统的行为。

📊 实验亮点

论文的主要成果是建立了单峰自激振荡的存在性判据，并确定了其周期的严格界限。具体来说，论文证明了在满足一定条件下，单峰自激振荡的存在仅当系统环路增益的正值和负值的数量在给定的严格正周期内重合时。此外，论文还解决了单峰自激振荡的唯一性问题，为系统设计提供了更全面的理论指导。

🎯 应用场景

该研究成果可应用于各种包含继电反馈的控制系统设计，例如温度控制、压力控制和电机控制等。通过利用论文提出的存在性判据和周期性界限，工程师可以更好地设计和优化这些系统，以避免或利用自激振荡，从而提高系统的性能和稳定性。此外，该研究也为分析和控制其他类型的非线性系统提供了新的思路。

📄 摘要（原文）

This paper characterizes self-oscillations in discrete-time linear time-invariant (LTI) relay feedback systems with nonnegative dead zone. Specifically, we aim to establish existence criteria for unimodal self-oscillations, defined as periodic solutions where the output exhibits a single-peaked period. Assuming that the linear part of system is stable, with a strictly monotonically decreasing impulse response on its infinite support, we propose a novel analytical framework based on the theory of total positivity to address this problem. We demonstrate that unimodal self-oscillations subject to mild variation-based constraints exist only if the number of positive and negative values of the system's loop gain coincides within a given strictly positive period, i.e., the self-oscillation is sign-symmetric. Building upon these findings, we derive conditions for the existence of such self-oscillations, establish tight bounds on their periods, and address the question of their uniqueness.