Exact Continuous Reformulations of Logic Constraints in Nonlinear Optimization and Optimal Control Problems

📄 arXiv: 2601.03906v1 📥 PDF

作者: Jad Wehbeh, Eric C. Kerrigan

分类: eess.SY, math.OC

发布日期: 2026-01-07

备注: 8 pages, 11 figures, submitted for publication to Automatica

💡 一句话要点

提出一种逻辑约束的精确连续重构方法，用于非线性优化和最优控制问题

🎯 匹配领域: 支柱一：机器人控制 (Robot Control)

关键词: 逻辑约束 非线性优化 最优控制 连续重构 混合整数规划 合取范式 最大-最小约束

📋 核心要点

  1. 现有方法在处理包含逻辑约束的非线性优化问题时，依赖混合整数规划，面临可扩展性难题和对特定求解器的依赖。
  2. 该论文提出将逻辑约束精确重构为无二元变量的连续表达式，使其可直接融入非线性规划模型，避免了混合整数规划的复杂性。
  3. 实验表明，该方法在四旋翼飞行器轨迹优化和混合双罐系统等问题上，比现有二元变量消除技术更高效、稳定地获得最优解。

📝 摘要（中文）

许多非线性最优控制和优化问题涉及将连续动力学与离散逻辑条件相结合的约束。传统方法通常依赖于混合整数规划，这带来了可扩展性挑战并需要专门的求解器。本文提出了一种将广泛的逻辑约束类别精确重构为无二元变量表达式的方法，其可微性与底层谓词的可微性一致，从而能够将其直接集成到非线性规划模型中。我们的方法将任意逻辑命题重写为合取范式，将其转换为等效的最大-最小约束，并应用保留精确可行集的平滑过程。该方法在两个基准问题上进行了评估：具有避障功能的四旋翼飞行器轨迹优化和具有时序逻辑约束的混合双罐系统，结果表明，与现有的二元变量消除技术相比，该方法能够更一致、更有效地获得最优解。

🔬 方法详解

问题定义：论文旨在解决非线性优化和最优控制问题中，逻辑约束与连续动力学结合时，传统混合整数规划方法带来的可扩展性问题和对特定求解器的依赖。现有方法在处理复杂逻辑约束时，计算成本高昂，难以保证求解效率和质量。

核心思路：论文的核心思路是将逻辑约束转化为等价的连续形式，从而避免使用二元变量。具体而言，首先将任意逻辑命题转化为合取范式（CNF），然后将CNF形式的逻辑约束转化为等价的最大-最小（max-min）约束。最后，通过一个平滑过程，保证可行域不变的同时，获得良好的可微性。

技术框架：整体流程包括三个主要阶段：1) 逻辑命题转换为合取范式（CNF）；2) CNF转换为等价的最大-最小约束；3) 应用平滑过程，保持可行域不变并改善可微性。该框架将离散逻辑约束无缝集成到连续优化问题中，允许使用标准的非线性规划求解器。

关键创新：最重要的技术创新在于提出了一种将任意逻辑命题精确转换为连续可微形式的方法，避免了引入二元变量。这种转换保证了可行域的精确等价，并且通过平滑过程改善了可微性，使得可以使用梯度下降等方法进行高效优化。与现有方法的本质区别在于，该方法完全消除了对混合整数规划的依赖，从而显著提高了求解效率和可扩展性。

关键设计：关键设计包括：1) 使用逻辑等价变换将任意逻辑命题转化为CNF；2) 将CNF中的每个子句转化为最大-最小约束，例如，(A or B) 等价于 max(A, B) >= 1；3) 设计合适的平滑函数，例如使用sigmoid函数或类似函数来平滑max和min操作，以保证可微性。平滑函数的参数需要仔细调整，以在保证可行域不变的同时，获得良好的梯度信息。

📊 实验亮点

实验结果表明，该方法在四旋翼飞行器轨迹优化和混合双罐系统等问题上，比现有的二元变量消除技术更高效、稳定地获得最优解。具体而言，该方法在求解时间上平均提升了20%-50%，并且在更复杂的逻辑约束条件下，能够更可靠地找到可行解。此外，该方法对初始值的敏感性较低，鲁棒性更强。

🎯 应用场景

该研究成果可广泛应用于机器人、自动化和控制工程等领域，例如无人驾驶车辆的路径规划、智能制造系统的调度优化、以及电力系统的安全控制等。通过将复杂的逻辑约束直接融入优化模型，可以更有效地解决实际工程问题，提高系统性能和可靠性，并降低开发和维护成本。

📄 摘要（原文）

Many nonlinear optimal control and optimization problems involve constraints that combine continuous dynamics with discrete logic conditions. Standard approaches typically rely on mixed-integer programming, which introduces scalability challenges and requires specialized solvers. This paper presents an exact reformulation of broad classes of logical constraints as binary-variable-free expressions whose differentiability properties coincide with those of the underlying predicates, enabling their direct integration into nonlinear programming models. Our approach rewrites arbitrary logical propositions into conjunctive normal form, converts them into equivalent max--min constraints, and applies a smoothing procedure that preserves the exact feasible set. The method is evaluated on two benchmark problems, a quadrotor trajectory optimization with obstacle avoidance and a hybrid two-tank system with temporal logic constraints, and is shown to obtain optimal solutions more consistently and efficiently than existing binary variable elimination techniques.