Differentiable-by-design Nonlinear Optimization for Model Predictive Control

📄 arXiv: 2509.12692v3 📥 PDF

作者: Riccardo Zuliani, Efe C. Balta, John Lygeros

分类: math.OC, eess.SY

发布日期: 2025-09-16 (更新: 2025-12-01)

💡 一句话要点

提出可微非线性优化方法，用于模型预测控制，提升梯度优化策略性能。

🎯 匹配领域: 支柱一：机器人控制 (Robot Control)

关键词: 非线性优化 模型预测控制 可微编程 梯度优化 控制策略 正则化方法 机器人控制

📋 核心要点

  1. 非线性模型预测控制依赖在线求解非线性优化问题，计算成本高昂，且解映射可能不可微，阻碍了梯度优化。
  2. 论文提出一种正则化方法，即使原问题不可微，也能获得可微的替代导数，保证解的一致性。
  3. 实验表明，该方法在自由终点时间最优控制和递推式非线性MPC中有效，验证了其性能。

📝 摘要（中文）

本文针对非线性模型预测控制等基于非线性优化的控制策略，提出了一种原则性的正则化方法。这些策略需要在每个时间步在线求解计算量大的非线性优化问题。由此产生的解映射（作为系统测量状态和设计参数的函数）可能不可微，这给嵌入在基于梯度的策略优化方案中的控制策略带来了重大挑战。我们提出了一种原则性的方法来正则化非线性优化问题，即使在原始问题不可微时也能获得替代导数。替代问题在设计上是可微的，并且其解映射与未正则化问题的解一致。我们在自由终点时间最优控制问题和递推式非线性MPC示例中证明了我们方法的有效性。

🔬 方法详解

问题定义：非线性模型预测控制（NMPC）依赖于求解非线性优化问题，以确定在每个时间步的最优控制动作。然而，这些优化问题计算量大，并且其解（作为系统状态和设计参数的函数）可能不具备可微性。当NMPC策略被嵌入到基于梯度的策略优化框架中时，不可微性会带来显著的挑战，因为梯度信息是优化过程的关键。现有方法难以保证解的可微性，从而限制了基于梯度优化的NMPC性能。

核心思路：论文的核心思路是通过对非线性优化问题进行正则化，构造一个可微的替代问题。该替代问题在设计上是可微的，即使原始问题不可微，也能提供有效的梯度信息。关键在于，正则化后的问题应该与原始问题具有相同的解，从而保证控制策略的性能不受影响。通过这种方式，可以利用基于梯度的优化方法来改进NMPC策略，而无需担心不可微性的问题。

技术框架：该方法主要包含以下几个阶段：1) 原始非线性优化问题的建模；2) 对原始问题进行正则化，构造可微的替代问题；3) 求解正则化后的优化问题，获得控制策略；4) 将控制策略嵌入到基于梯度的策略优化框架中，利用梯度信息进行策略改进。整体流程是，首先定义原始的非线性优化问题，然后通过添加正则项将其转化为一个可微的替代问题，最后利用梯度信息优化控制策略。

关键创新：最重要的技术创新点在于提出了一种“可微设计”的正则化方法。这种方法能够在保证解与原始问题一致的前提下，使得优化问题在设计上是可微的。与传统的数值微分方法相比，该方法避免了数值误差和计算成本，并且能够提供精确的梯度信息。与其他的正则化方法相比，该方法能够保证解的一致性，从而避免了性能损失。

关键设计：正则化项的设计是关键。论文中可能采用了特定的正则化函数，例如，添加一个小的二次项来保证目标函数的强凸性，从而确保解的可微性。此外，正则化参数的选择也很重要，需要仔细调整以保证解的一致性和可微性。具体的损失函数可能包括控制成本和状态偏差，目标是最小化这些成本，同时满足系统的动力学约束。

📊 实验亮点

论文在自由终点时间最优控制问题和递推式非线性MPC示例中验证了该方法的有效性。实验结果表明，该方法能够有效地解决不可微性问题，并且能够利用梯度信息改进控制策略。具体的性能数据（例如，控制精度、收敛速度等）需要在论文中查找。通过与传统的NMPC方法进行对比，可以评估该方法的优势和局限性。

🎯 应用场景

该研究成果可广泛应用于机器人控制、自动驾驶、过程控制等领域。通过利用可微的NMPC策略，可以实现更高效、更鲁棒的控制系统设计。例如，在自动驾驶中，可以利用该方法优化车辆的行驶轨迹，提高行驶的安全性和舒适性。在机器人控制中，可以利用该方法实现复杂运动的规划和控制，提高机器人的灵活性和适应性。

📄 摘要（原文）

Nonlinear optimization-based control policies, such as those those arising in nonlinear Model Predictive Control, have seen remarkable success in recent years. These policies require solving computationally demanding nonlinear optimization programs online at each time-step. The resulting solution map, viewed as a function of the measured state of the system and design parameters, may not be differentiable, which poses significant challenges if the control policy is embedded in a gradient-based policy optimization scheme. We propose a principled way to regularize the nonlinear optimization problem, obtaining a surrogate derivative even if when the original problem is not differentiable. The surrogate problem is differentiable by design and its solution map coincides with the solution of the unregularized problem. We demonstrate the effectiveness of our approach in a free-final-time optimal control problem and a receding-horizon nonlinear MPC example.