Uncertainty Partitioning with Probabilistic Feasibility and Performance Guarantees for Chance-Constrained Optimization
作者: Francesco Cordiano, Matin Jafarian, Bart De Schutter
分类: math.OC, eess.SY
发布日期: 2025-05-27
备注: Submitted to IEEE Transactions on Automatic Control
💡 一句话要点
提出基于不确定性分割的概率约束优化方法，保证可行性与性能
🎯 匹配领域: 支柱一：机器人控制 (Robot Control)
关键词: 概率约束优化 不确定性分割 随机优化 模型预测控制 可行性保证
📋 核心要点
- 传统基于采样的随机优化方法在处理概率约束时，计算复杂度高，且保守性较强。
- 论文提出一种不确定性域分割方法，通过用户自定义集合数量，灵活平衡保守性和计算复杂度。
- 该方法保证近似问题的可行性，并严格分析了近似问题与原问题的最优值差距，数值实验验证了其有效性。
📝 摘要（中文）
本文提出了一种新的、无分布的方案来解决优化问题，该问题的目标是在概率约束下最小化成本函数的期望值。与标准的基于采样的方法不同，我们的想法是将不确定性域划分为用户定义数量的集合，从而在保守性和计算复杂度之间实现更大的灵活性。我们提供了充分的条件，以确保我们的近似问题在机会约束满足方面对原始随机程序是可行的。此外，我们通过量化原始问题和近似问题的最优值之间的距离，进行了严格的性能分析。我们表明，我们的方法对于包括分段仿射系统的模型预测控制的优化问题是易于处理的，并且我们在数值示例中证明了我们的方法在保守性和计算复杂度之间的权衡方面的优势。
🔬 方法详解
问题定义：论文旨在解决带有概率约束的优化问题，目标是最小化成本函数的期望值。现有基于采样的方法，如蒙特卡洛方法，需要大量的样本才能保证解的精度，计算成本高昂。同时，为了满足概率约束，这些方法往往过于保守，导致优化结果不理想。
核心思路：核心思想是将不确定性域分割成若干个用户定义的集合。通过这种分割，可以将原问题转化为一个更易于处理的近似问题。用户可以根据实际需求调整集合的数量，从而在计算复杂度和解的保守性之间进行权衡。这种方法避免了直接对概率分布进行采样，而是通过对分割后的集合进行分析，来保证概率约束的满足。
技术框架：该方法主要包含以下几个阶段：1. 不确定性域分割：根据用户指定的数量，将不确定性域划分为若干个互不相交的集合。2. 近似问题构建：基于分割后的集合，构建原问题的近似问题。近似问题通常是一个确定性优化问题，更容易求解。3. 可行性验证：提供充分条件，证明近似问题的解满足原问题的概率约束。4. 性能分析：量化近似问题的最优值与原问题最优值之间的差距，评估近似解的性能。
关键创新：该方法的核心创新在于将不确定性域分割的思想引入到概率约束优化中。与传统的基于采样的方法相比，该方法不需要大量的样本，从而降低了计算复杂度。此外，通过调整分割集合的数量，可以灵活地控制解的保守性。该方法提供了一种在计算复杂度和解的质量之间进行权衡的有效手段。
关键设计：关键设计包括：1. 分割策略：如何有效地将不确定性域分割成若干个集合，以保证近似问题的可行性和性能。2. 近似问题构建：如何基于分割后的集合，构建一个易于求解且能够较好地逼近原问题的近似问题。3. 可行性条件：如何推导出充分条件，以保证近似问题的解满足原问题的概率约束。4. 性能指标：如何选择合适的性能指标，来量化近似问题的解与原问题最优解之间的差距。
🖼️ 关键图片
📊 实验亮点
论文通过数值实验验证了该方法的有效性。实验结果表明，与传统的基于采样的方法相比，该方法在保证解的可行性的前提下，能够显著降低计算复杂度，并实现更好的性能。特别是在分段仿射系统的模型预测控制问题中，该方法展现了良好的应用前景。
🎯 应用场景
该方法可应用于各种涉及不确定性和概率约束的优化问题，例如：机器人运动规划、供应链管理、金融风险控制、能源系统优化等。特别是在模型预测控制（MPC）领域，该方法可以有效地处理系统中的不确定性，提高控制系统的鲁棒性和可靠性。未来，该方法有望在自动驾驶、智能制造等领域发挥重要作用。
📄 摘要（原文）
We propose a novel distribution-free scheme to solve optimization problems where the goal is to minimize the expected value of a cost function subject to probabilistic constraints. Unlike standard sampling-based methods, our idea consists of partitioning the uncertainty domain in a user-defined number of sets, enabling more flexibility in the trade-off between conservatism and computational complexity. We provide sufficient conditions to ensure that our approximated problem is feasible for the original stochastic program, in terms of chance constraint satisfaction. In addition, we perform a rigorous performance analysis, by quantifying the distance between the optimal values of the original and the approximated problem. We show that our approach is tractable for optimization problems that include model predictive control of piecewise affine systems, and we demonstrate the benefits of our approach, in terms of the trade-off between conservatism and computational complexity, on a numerical example.