YANNs: Y-wise Affine Neural Networks for Exact and Efficient Representations of Piecewise Linear Functions

📄 arXiv: 2505.07054v1 📥 PDF

作者: Austin Braniff, Yuhe Tian

分类: eess.SY, cs.LG, math.OC

发布日期: 2025-05-11

💡 一句话要点

提出YANNs，精确高效地表示分段线性函数，应用于多参数模型预测控制。

🎯 匹配领域: 支柱一：机器人控制 (Robot Control)

关键词: 分段仿射函数 神经网络 模型预测控制 多参数优化 实时控制

📋 核心要点

  1. 传统方法难以精确且高效地表示分段线性函数，尤其是在高维空间和复杂子域的情况下。
  2. YANNs通过特定的网络结构，无需训练即可精确表示分段仿射函数，并保留其数学性质。
  3. 实验表明，YANNs在多参数模型预测控制中，能够保证可行性和稳定性，并具有更快的推理速度。

📝 摘要（中文）

本文正式提出了一种名为Y-wise仿射神经网络(YANNs)的完全可解释的网络架构，该架构能够连续且高效地表示具有多面体子域的分段仿射函数。证明表明，YANNs的开发不需要任何训练即可实现功能等效的表示，从而保持了原始公式的所有数学性质。多参数模型预测控制被用作YANNs的应用展示，它在理论上将最优控制律计算为状态、输出、设定点和扰动的分段仿射函数。通过对多参数控制律的精确表示，YANNs保留了诸如递归可行性和稳定性等重要的控制理论保证。这使得YANNs与现有使用神经网络近似最优控制律的工作区分开来。通过优化网络的推理速度，YANNs可以比传统的分段仿射函数计算更快地进行实时评估。数值案例研究表明了算法相对于输入/输出维度和子域数量的可扩展性。YANNs代表了控制领域的一项重大进步，是第一个从根本上确保可行性和稳定性的基于神经网络的控制器。未来的应用可以利用它们作为数据驱动建模/控制的有效且可解释的起点。

🔬 方法详解

问题定义：论文旨在解决分段线性函数在表示和计算上的效率问题，特别是在多参数模型预测控制等领域。现有方法，如直接计算分段函数，在高维空间和大量子域的情况下计算复杂度高，难以满足实时性要求。而使用神经网络近似分段线性函数，则无法保证控制系统的关键性质，如可行性和稳定性。

核心思路：论文的核心思路是设计一种特殊的神经网络结构，即YANNs，使其能够精确地表示分段仿射函数，而无需进行训练。通过这种方式，YANNs可以继承分段仿射函数的数学性质，从而保证控制系统的可行性和稳定性。同时，通过优化网络结构，提高推理速度，满足实时性要求。

技术框架：YANNs的网络结构基于分段仿射函数的定义，将输入空间划分为多个多面体子域，并在每个子域上定义一个仿射函数。网络包含多个层，每一层对应于分段函数的一个维度。网络的输出是分段仿射函数在给定输入下的值。整个框架不需要训练，而是通过直接将分段仿射函数的参数映射到网络权重来实现。

关键创新：YANNs的关键创新在于其完全可解释性和精确表示能力。与传统的神经网络近似方法不同，YANNs能够精确地表示分段仿射函数，并保留其数学性质。此外，YANNs无需训练，可以直接从分段仿射函数的参数构建，从而避免了训练过程中的误差和不确定性。

关键设计：YANNs的关键设计包括：(1) Y-wise结构，确保每个输出维度都独立处理，简化了网络结构；(2) 仿射变换层的精确参数映射，直接将分段仿射函数的参数映射到网络权重；(3) 推理速度优化，通过简化计算和减少内存访问来提高推理速度。论文中没有特别提到损失函数，因为YANNs不需要训练。

🖼️ 关键图片

img_0

📊 实验亮点

论文通过数值案例研究验证了YANNs的有效性。实验结果表明，YANNs能够精确地表示多参数模型预测控制中的最优控制律，并保证控制系统的可行性和稳定性。此外，YANNs的推理速度比传统的分段仿射函数计算方法快得多，能够满足实时性要求。论文还展示了YANNs在输入/输出维度和子域数量方面的可扩展性。

🎯 应用场景

YANNs在多参数模型预测控制中具有重要应用价值，可以用于设计高性能、高可靠性的控制器。此外，YANNs还可以应用于其他需要精确表示分段线性函数的领域，如混合逻辑动态系统建模、混合整数规划求解等。未来，YANNs可以作为数据驱动建模和控制的有效起点，结合机器学习方法，进一步提高控制系统的性能和适应性。

📄 摘要（原文）

This work formally introduces Y-wise Affine Neural Networks (YANNs), a fully-explainable network architecture that continuously and efficiently represent piecewise affine functions with polytopic subdomains. Following from the proofs, it is shown that the development of YANNs requires no training to achieve the functionally equivalent representation. YANNs thus maintain all mathematical properties of the original formulations. Multi-parametric model predictive control is utilized as an application showcase of YANNs, which theoretically computes optimal control laws as a piecewise affine function of states, outputs, setpoints, and disturbances. With the exact representation of multi-parametric control laws, YANNs retain essential control-theoretic guarantees such as recursive feasibility and stability. This sets YANNs apart from the existing works which apply neural networks for approximating optimal control laws instead of exactly representing them. By optimizing the inference speed of the networks, YANNs can evaluate substantially faster in real-time compared to traditional piecewise affine function calculations. Numerical case studies are presented to demonstrate the algorithmic scalability with respect to the input/output dimensions and the number of subdomains. YANNs represent a significant advancement in control as the first neural network-based controller that inherently ensures both feasibility and stability. Future applications can leverage them as an efficient and interpretable starting point for data-driven modeling/control.