Singular Arcs in Optimal Control: Closed-loop Implementations without Workarounds

📄 arXiv: 2504.17093v1 📥 PDF

作者: Nikilesh Ramesh, Ross Drummond, Pablo Rodolfo Baldivieso Monasterios, Yuanbo Nie

分类: math.OC, eess.SY

发布日期: 2025-04-23

备注: Submitted to CDC 2025

💡 一句话要点

利用集成残差法，无需特殊处理即可闭环实现奇异弧最优控制

🎯 匹配领域: 支柱一：机器人控制 (Robot Control)

关键词: 最优控制 奇异弧 集成残差法 模型预测控制 闭环控制

📋 核心要点

  1. 传统最优控制方法在处理奇异弧问题时需要专门设计，这对于在线闭环控制和大规模问题构成挑战。
  2. 论文提出使用集成残差方法(IRM)来解决带有奇异弧的最优控制问题，该方法能自动抑制奇异弧引起的波动。
  3. 实验表明，IRM无需特殊处理即可可靠地解决奇异弧问题，且闭环结果与解析最优解高度吻合。

📝 摘要（中文）

当最优控制问题(OCP)的最优输入在某些有限时间区间内无法直接通过最优性条件获得时，奇异弧就会出现在OCP的解中。解决带有奇异弧的OCP通常需要定制化的处理，适用于离线轨迹优化。对于在线闭环实现，特别是对于大规模工程问题，这种方法变得越来越不切实际。集成残差方法(IRM)的最新发展表明其适用于处理奇异弧；IRM中误差测量的收敛自动抑制了奇异弧引起的波动，并导致更适合实际问题的非波动解。通过几个例子，我们展示了在经济模型预测控制框架下使用IRM解决具有奇异弧的OCP的优势。特别地，观察到以下几点：(i) IRM不需要对奇异弧进行特殊处理，(ii) 它可靠地解决了具有奇异弧抑制波动的OCP，以及(iii) 闭环结果与解析最优解非常吻合。

🔬 方法详解

问题定义：论文旨在解决最优控制问题中奇异弧的处理难题。传统方法需要针对奇异弧进行特殊设计，例如奇异弧的检测与切换逻辑，这增加了复杂性，并且难以应用于在线闭环控制和大规模工程问题。现有方法的痛点在于缺乏通用性和在线适用性。

核心思路：论文的核心思路是利用集成残差方法(IRM)的误差收敛特性，自动抑制奇异弧引起的波动。IRM通过求解一个残差形式的方程来逼近最优解，其误差收敛特性能够平滑奇异弧带来的不连续性，从而避免了对奇异弧的显式处理。

技术框架：论文将IRM应用于经济模型预测控制(EMPC)框架下。整体流程如下：1)建立系统的动力学模型和经济目标函数；2)使用IRM求解该最优控制问题，得到控制输入序列；3)将控制输入序列的第一个元素作用于实际系统；4)重复上述步骤，实现闭环控制。IRM在EMPC中扮演着求解器的角色。

关键创新：论文的关键创新在于将IRM应用于奇异弧问题的处理，并验证了其在闭环控制中的有效性。与传统方法相比，IRM无需显式检测和处理奇异弧，降低了算法的复杂性，提高了通用性和在线适用性。

关键设计：论文中没有特别强调IRM的具体参数设置或网络结构，因为IRM本身是一种数值求解方法，其性能主要取决于残差方程的构建和求解器的选择。关键在于如何将最优控制问题转化为适合IRM求解的残差形式。

🖼️ 关键图片

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📊 实验亮点

论文通过多个例子验证了IRM在处理奇异弧问题上的有效性。实验结果表明，IRM无需特殊处理即可可靠地解决具有奇异弧的OCP，并且闭环结果与解析最优解非常吻合。这表明IRM能够有效地抑制奇异弧引起的波动，并提供高质量的控制性能。

🎯 应用场景

该研究成果可广泛应用于需要精确控制且存在奇异弧现象的领域，例如航空航天、机器人、化工过程控制等。通过使用IRM，可以简化控制系统的设计和实现，提高控制性能和鲁棒性，并降低开发成本。未来，该方法有望推广到更复杂、更大规模的控制系统中。

📄 摘要（原文）

Singular arcs emerge in the solutions of Optimal Control Problems (OCPs) when the optimal inputs on some finite time intervals cannot be directly obtained via the optimality conditions. Solving OCPs with singular arcs often requires tailored treatments, suitable for offline trajectory optimization. This approach can become increasingly impractical for online closed-loop implementations, especially for large-scale engineering problems. Recent development of Integrated Residual Methods (IRM) have indicated their suitability for handling singular arcs; the convergence of error measures in IRM automatically suppresses singular arc-induced fluctuations and leads to non-fluctuating solutions more suitable for practical problems. Through several examples, we demonstrate the advantages of solving OCPs with singular arcs using {IRM} under an economic model predictive control framework. In particular, the following observations are made: (i) IRM does not require special treatment for singular arcs, (ii) it solves the OCPs reliably with singular arc fluctuation suppressed, and (iii) the closed-loop results closely match the analytic optimal solutions.