Self-sustained oscillations in discrete-time relay feedback systems

📄 arXiv: 2504.05941v3 📥 PDF

作者: Kang Tong, Christian Grussler, Michelle S. Chong

分类: math.OC, eess.SY, math.DS

发布日期: 2025-04-08 (更新: 2025-08-16)

备注: Update some figures by the comments from reviewers

💡 一句话要点

研究离散时间继电反馈系统中的自激振荡问题，提出基于全正性的分析方法。

🎯 匹配领域: 支柱八：物理动画 (Physics-based Animation)

关键词: 离散时间系统 继电反馈 自激振荡 全正性 单峰振荡

📋 核心要点

  1. 核心问题是预测离散时间继电反馈系统何时产生单峰自激振荡，现有方法缺乏有效分析工具。
  2. 论文利用全正性框架，分析系统脉冲响应的单调性，推导单峰振荡存在的充要条件。
  3. 研究确定了振荡周期的上下界，并探讨了振荡解的唯一性，为系统设计提供理论依据。

📝 摘要（中文）

本文研究了离散时间线性时不变继电反馈系统中自激振荡的确定问题。具体而言，我们关注于预测此类系统何时会产生单峰振荡，即输出具有单峰周期。在假设线性系统稳定且其脉冲响应在其无限支撑上严格单调递减的前提下，我们采用了一种新颖的方法，利用全正性的框架来解决我们的主要问题。结果表明，单峰自激振荡只有在周期中正负元素数量一致时才可能存在。基于此结果，我们推导了此类振荡存在的条件，确定了其周期的界限，并解决了唯一性的问题。

🔬 方法详解

问题定义：论文旨在解决离散时间线性时不变继电反馈系统中自激振荡的预测问题，特别是单峰振荡的预测。现有方法在分析此类系统的振荡行为时，缺乏有效的工具和理论框架，难以准确预测振荡的存在性、周期和唯一性。

核心思路：论文的核心思路是利用全正性（Total Positivity）的数学框架来分析系统的脉冲响应。通过假设线性系统是稳定的，并且其脉冲响应是严格单调递减的，论文将振荡问题转化为对脉冲响应序列性质的分析。全正性提供了一种强大的工具，可以用来研究序列的符号变化和振荡行为。

技术框架：论文的技术框架主要包括以下几个步骤：1. 假设线性系统稳定且脉冲响应单调递减；2. 利用全正性理论分析脉冲响应序列的性质；3. 推导单峰自激振荡存在的必要条件（正负元素数量一致）；4. 基于此条件，进一步推导振荡存在的充分条件，并确定振荡周期的上下界；5. 研究振荡解的唯一性。

关键创新：论文最重要的技术创新点在于将全正性理论引入到离散时间继电反馈系统的振荡分析中。与传统方法相比，全正性提供了一种更加系统和严谨的分析框架，可以更准确地预测振荡的存在性和性质。此外，论文还提出了单峰振荡存在的必要条件，并基于此条件推导了振荡周期的界限。

关键设计：论文的关键设计在于对线性系统脉冲响应的单调性假设。这个假设使得全正性理论可以有效地应用于系统的分析。此外，论文还巧妙地利用了继电反馈的特性，将振荡问题转化为对脉冲响应序列符号变化的分析。具体的参数设置和损失函数等技术细节在摘要中没有明确提及，属于未知信息。

📊 实验亮点

论文证明了单峰自激振荡存在的必要条件是周期中正负元素数量一致。基于此，推导了振荡存在的充分条件，并确定了振荡周期的上下界。虽然摘要中没有给出具体的性能数据或对比基线，但该研究为离散时间继电反馈系统的振荡分析提供了新的理论工具。

🎯 应用场景

该研究成果可应用于各种包含离散时间继电反馈的控制系统设计，例如温度控制、压力控制和电机控制等。通过预测和控制自激振荡，可以提高系统的稳定性和性能，避免不必要的能量损耗和设备损坏。该研究为设计更可靠、更高效的控制系统提供了理论基础。

📄 摘要（原文）

We study the problem of determining self-sustained oscillations in discrete-time linear time-invariant relay feedback systems. Concretely, we are interested in predicting when such a system admits unimodal oscillations, i.e., when the output has a single-peaked period. Under the assumption that the linear system is stable and has an impulse response that is strictly monotonically decreasing on its infinite support, we take a novel approach in using the framework of total positivity to address our main question. It is shown that unimodal self-oscillations can only exist if the number of positive and negative elements in a period coincides. Based on this result, we derive conditions for the existence of such oscillations, determine bounds on their periods, and address the question of uniqueness.