Trajectory Optimization of Stochastic Systems under Chance Constraints via Set Erosion
作者: Zishun Liu, Liqian Ma, Yongxin Chen
分类: math.OC, eess.SY
发布日期: 2025-04-07
💡 一句话要点
提出基于集合侵蚀的随机系统轨迹优化方法，解决机会约束下的轨迹规划问题
🎯 匹配领域: 支柱一：机器人控制 (Robot Control)
关键词: 轨迹优化 随机系统 机会约束 集合侵蚀 最优控制
📋 核心要点
- 现有方法难以处理随机系统在轨迹层面的机会约束，导致轨迹优化问题难以求解。
- 该论文提出基于集合侵蚀的策略，将机会约束转化为确定性轨迹上的安全约束，简化了问题。
- 通过数值实验验证了该方法的可行性和计算效率，为高维随机系统轨迹优化提供了新方案。
📝 摘要（中文）
本文研究了连续时间随机系统在机会约束下的轨迹优化问题。为了解决施加在整个随机轨迹上的机会约束，我们提出了一种基于集合侵蚀策略的框架，该框架将机会约束转换为确定性轨迹上安全集合的侵蚀子集上的安全约束。侵蚀的深度由随机轨迹与其确定性对应轨迹之间的距离的概率界限决定，我们利用了最近开发的一种新的、清晰的概率界限。通过采用该框架，可以获得确定性的控制输入序列，并通过理论分析证明其可行性和性能。我们的框架与各种确定性最优控制技术兼容，在各种场景中提供了极大的灵活性和计算效率。据我们所知，我们的方法为轨迹级机会约束下的高维随机系统提供了第一个可扩展的轨迹优化方案。我们通过两个数值实验验证了所提出的方法。
🔬 方法详解
问题定义：论文旨在解决连续时间随机系统在机会约束下的轨迹优化问题。现有的轨迹优化方法在处理随机系统时，尤其是在轨迹层面存在机会约束时，面临着计算复杂性和可扩展性方面的挑战。直接处理机会约束通常会导致非凸优化问题，难以高效求解，尤其是在高维系统中。因此，如何设计一种可扩展的轨迹优化方案，同时满足轨迹层面的机会约束，是本文要解决的核心问题。
核心思路：论文的核心思路是将复杂的随机机会约束问题转化为更容易处理的确定性安全约束问题。具体而言，通过“集合侵蚀”的概念，将原始安全集合缩小，确保即使随机轨迹偏离确定性轨迹，仍然有很高的概率落在原始安全集合内。这种转化使得可以使用现有的确定性最优控制技术来求解轨迹优化问题。
技术框架：整体框架包含以下几个主要阶段：1) 确定系统的动力学模型和机会约束；2) 利用新颖的概率界限，计算随机轨迹与其确定性对应轨迹之间的距离的概率界限；3) 基于该概率界限，对原始安全集合进行侵蚀，得到一个更小的安全子集；4) 在该侵蚀后的安全子集上，使用确定性最优控制方法进行轨迹优化，得到确定性的控制输入序列。
关键创新：论文的关键创新在于提出了基于集合侵蚀的策略来处理轨迹层面的机会约束。与现有方法相比，该方法避免了直接处理复杂的随机约束，而是通过将问题转化为确定性约束，大大降低了计算复杂度，提高了可扩展性。此外，论文还利用了一种新的、清晰的概率界限，用于精确估计随机轨迹的偏差，从而保证了集合侵蚀的有效性。
关键设计：集合侵蚀的深度由随机轨迹与其确定性对应轨迹之间的距离的概率界限决定。这个概率界限是基于系统动力学和噪声特性计算得到的。具体而言，需要选择合适的概率水平，以确定侵蚀的程度。此外，在确定性最优控制阶段，可以选择不同的优化算法和成本函数，以满足不同的性能指标和约束条件。论文并没有具体指定某种特定的优化算法，而是强调了该框架与各种确定性最优控制技术的兼容性。
🖼️ 关键图片
📊 实验亮点
论文通过数值实验验证了所提出方法的有效性。实验结果表明，该方法能够有效地处理高维随机系统在轨迹层面的机会约束，并且具有良好的计算效率。与直接处理机会约束的方法相比，该方法能够显著降低计算复杂度，提高求解速度。此外，实验还验证了该方法与各种确定性最优控制技术的兼容性。
🎯 应用场景
该研究成果可应用于机器人运动规划、自动驾驶、航空航天等领域。在这些领域中，系统通常面临着不确定性和随机扰动，需要保证轨迹的安全性。例如，在自动驾驶中，需要考虑其他车辆和行人的行为不确定性，确保车辆行驶的安全。该方法可以提高系统在不确定环境下的鲁棒性和可靠性，具有重要的实际应用价值。
📄 摘要（原文）
We study the trajectory optimization problem under chance constraints for continuous-time stochastic systems. To address chance constraints imposed on the entire stochastic trajectory, we propose a framework based on the set erosion strategy, which converts the chance constraints into safety constraints on an eroded subset of the safe set along the corresponding deterministic trajectory. The depth of erosion is captured by the probabilistic bound on the distance between the stochastic trajectory and its deterministic counterpart, for which we utilize a novel and sharp probabilistic bound developed recently. By adopting this framework, a deterministic control input sequence can be obtained, whose feasibility and performance are demonstrated through theoretical analysis. Our framework is compatible with various deterministic optimal control techniques, offering great flexibility and computational efficiency in a wide range of scenarios. To the best of our knowledge, our method provides the first scalable trajectory optimization scheme for high-dimensional stochastic systems under trajectory level chance constraints. We validate the proposed method through two numerical experiments.