Control Lyapunov Function Design via Configuration-Constrained Polyhedral Computing
作者: Boris Houska, Matthias A. Müller, Mario E. Villanueva
分类: math.OC, eess.SY
发布日期: 2025-03-20
💡 一句话要点
提出基于配置约束多面体计算的控制李雅普诺夫函数设计方法，用于约束线性系统。
🎯 匹配领域: 支柱一：机器人控制 (Robot Control)
关键词: 控制李雅普诺夫函数 多面体计算 约束线性系统 模型预测控制 凸优化 鲁棒控制 不确定系统
📋 核心要点
- 现有方法在处理约束线性系统的控制李雅普诺夫函数设计时，计算复杂度高，难以应用于实际。
- 利用配置约束多面体计算技术，设计分段仿射凸控制李雅普诺夫函数，简化计算过程。
- 通过数值实验验证了该方法在标称和最小-最大模型预测控制中的有效性，可用于显式控制器设计。
📝 摘要（中文）
本文提出了一种针对约束线性系统设计控制李雅普诺夫函数（CLFs）的新方法。我们利用最新的配置约束多面体计算技术来设计分段仿射凸CLFs。此外，我们将这些方法推广到具有加性和乘性扰动的不确定系统。所提出的设计方法能够通过求解一个单阶段凸优化问题来近似标称和最小-最大最优控制问题的无限时域成本函数。因此，这些方法在显式控制器设计以及确定标称和最小-最大模型预测控制（MPC）的终端区域和成本函数方面具有实际应用价值。数值例子验证了该方法的有效性。
🔬 方法详解
问题定义：论文旨在解决约束线性系统控制李雅普诺夫函数（CLF）的设计问题，特别是针对具有约束和不确定性的系统。现有方法，如直接求解贝尔曼方程或使用线性矩阵不等式（LMI）方法，通常计算复杂度高，难以扩展到高维系统或具有复杂约束的系统。此外，对于不确定系统，鲁棒CLF的设计更具挑战性。
核心思路：论文的核心思路是利用配置约束多面体计算技术来构造分段仿射凸CLF。通过将状态空间划分为多个多面体区域，并在每个区域内定义一个仿射函数，可以有效地近似复杂的非线性函数。这种方法的关键在于利用凸优化技术来确定这些仿射函数的参数，从而保证CLF的性质，如正定性和李导数为负。对于不确定系统，则采用min-max优化框架，保证在最坏情况下系统的稳定性。
技术框架：该方法主要包含以下几个阶段： 1. 系统建模：建立约束线性系统或不确定线性系统的数学模型。 2. 多面体划分：利用配置约束多面体计算技术将状态空间划分为多个多面体区域。 3. CLF参数化：在每个多面体区域内，将CLF定义为一个仿射函数，并用一组参数表示。 4. 凸优化求解：构建一个凸优化问题，目标是最小化CLF的成本函数，约束条件包括CLF的正定性和李导数为负。对于不确定系统，则构建min-max优化问题。 5. 控制器设计：基于设计的CLF，可以显式地设计控制器，或者将其用于模型预测控制（MPC）的终端区域和成本函数设计。
关键创新：该方法最重要的技术创新在于将配置约束多面体计算技术应用于CLF设计。与传统的LMI方法相比，该方法能够更有效地处理约束条件，并且可以扩展到不确定系统。此外，通过求解一个单阶段凸优化问题，可以近似无限时域成本函数，从而简化了控制器设计过程。
关键设计：关键设计包括： 1. 多面体划分策略：选择合适的多面体划分策略，以平衡计算复杂度和CLF的近似精度。 2. 凸优化问题的构建：构建合适的凸优化问题，以保证CLF的正定性和李导数为负。对于不确定系统，需要考虑最坏情况下的扰动。 3. 成本函数的设计：选择合适的成本函数，以反映系统的性能指标，如跟踪误差和控制能量。
🖼️ 关键图片
📊 实验亮点
数值实验表明，该方法能够有效地设计约束线性系统的控制李雅普诺夫函数，并近似无限时域成本函数。与传统的LMI方法相比，该方法在计算效率和处理约束能力方面具有优势。此外，该方法成功应用于不确定系统的鲁棒控制设计，验证了其在实际应用中的有效性。
🎯 应用场景
该研究成果可广泛应用于具有约束和不确定性的线性系统的控制设计，例如机器人控制、无人机控制、电力系统控制和过程控制等领域。通过显式控制器设计或作为模型预测控制的组成部分，可以提高系统的稳定性和性能，并降低计算复杂度。该方法在资源受限的嵌入式系统中具有重要的应用价值。
📄 摘要（原文）
This paper proposes novel approaches for designing control Lyapunov functions (CLFs) for constrained linear systems. We leverage recent configuration-constrained polyhedral computing techniques to devise piecewise affine convex CLFs. Additionally, we generalize these methods to uncertain systems with both additive and multiplicative disturbances. The proposed design methods are capable of approximating the infinite horizon cost function of both nominal and min-max optimal control problems by solving a single, one-stage, convex optimization problem. As such, these methods find practical applications in explicit controller design as well as in determining terminal regions and cost functions for nominal and min-max model predictive control (MPC). Numerical examples illustrate the effectiveness of this approach.