Input-to-State Stability of Newton Methods in Nash Equilibrium Problems with Applications to Game-Theoretic Model Predictive Control

📄 arXiv: 2412.06186v1 📥 PDF

作者: Mushuang Liu, Ilya Kolmanovsky

分类: eess.SY

发布日期: 2024-12-09

💡 一句话要点

针对纳什均衡问题的扰动牛顿法输入-状态稳定性分析及其在博弈论模型预测控制中的应用

🎯 匹配领域: 支柱一：机器人控制 (Robot Control)

关键词: 纳什均衡 广义纳什均衡 输入-状态稳定性 扰动牛顿法 模型预测控制 博弈论控制 多智能体系统

📋 核心要点

  1. 现有方法在动态系统中求解纳什均衡问题时，难以保证快速解跟踪和稳定性。
  2. 本文通过证明扰动牛顿法的输入-状态稳定性，允许非精确计算，从而加速求解过程。
  3. 通过约束博弈论模型预测控制的实验，验证了所提方法的有效性和有界解跟踪误差。

📝 摘要（中文）

本文证明了扰动牛顿法在求解纳什均衡(NE)和广义纳什均衡(GNE)问题时产生的广义方程具有输入-状态稳定性(ISS)。这种ISS性质允许在均衡搜索中使用非精确计算，从而在动态系统中实现快速解跟踪，并在互连的plant-optimizer反馈系统（如具有迭代优化算法的模型预测控制(MPC)）的分析中起关键作用。对于NE问题，我们从变分不等式(VI)稳定性分析的角度研究了扰动牛顿法的局部收敛性，并指出，与已有的非线性优化结果相比，在较宽松的稳定性/正则性条件下，可以建立扰动Josephy-Newton方法的ISS。然后，开发了agent分布式Josephy-Newton方法，以实现agent级的本地计算。对于GNE问题，由于它们通常不能简化为VI问题，我们使用半光滑牛顿法来求解由GNE问题的Karush-Kuhn-Tucker (KKT)系统产生的半光滑方程，并表明在准正则条件下可以建立扰动半光滑牛顿法的ISS。还为GNE搜索开发了agent分布式更新。为了说明ISS在动态系统中的应用，研究了约束博弈论MPC (CG-MPC)的应用。开发了一种具有时间和agent分布式计算的实时CG-MPC求解器，并证明其具有有界的解跟踪误差。

🔬 方法详解

问题定义：论文旨在解决动态系统中纳什均衡（NE）和广义纳什均衡（GNE）问题的求解，特别是在模型预测控制（MPC）框架下。现有方法在处理此类问题时，往往需要精确求解，计算负担重，难以满足实时性要求，并且缺乏对扰动的鲁棒性分析。

核心思路：论文的核心思路是利用扰动牛顿法的输入-状态稳定性（ISS）性质。ISS保证了即使在存在扰动（例如，非精确计算）的情况下，系统状态仍然是有界的。通过证明扰动牛顿法的ISS，论文允许在求解NE/GNE问题时使用非精确计算，从而降低计算复杂度，提高求解速度，并保证解的鲁棒性。

技术框架：整体框架包括以下几个主要部分：1) 针对NE问题，分析扰动Josephy-Newton方法的局部收敛性和ISS性质；2) 开发agent分布式Josephy-Newton方法，实现agent级的本地计算；3) 针对GNE问题，使用半光滑牛顿法求解KKT系统产生的半光滑方程，并证明扰动半光滑牛顿法的ISS；4) 开发agent分布式更新方法用于GNE搜索；5) 将上述方法应用于约束博弈论MPC (CG-MPC)，并分析其解的跟踪误差。

关键创新：论文的关键创新在于：1) 证明了扰动牛顿法在求解NE/GNE问题时的ISS性质，为非精确计算提供了理论基础；2) 针对NE问题，在更宽松的条件下建立了扰动Josephy-Newton方法的ISS；3) 针对GNE问题，利用半光滑牛顿法和准正则条件，建立了扰动半光滑牛顿法的ISS；4) 开发了agent分布式算法，实现了agent级的本地计算，降低了计算复杂度。

关键设计：对于NE问题，关键在于选择合适的Josephy-Newton方法，并分析其在扰动下的稳定性。对于GNE问题，关键在于利用半光滑牛顿法处理KKT系统产生的半光滑方程，并选择合适的准正则条件来保证算法的收敛性和稳定性。在CG-MPC应用中，关键在于设计合适的控制策略，以保证系统的稳定性和性能。

🖼️ 关键图片

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📊 实验亮点

论文通过实验验证了所提方法的有效性。在约束博弈论MPC (CG-MPC)的应用中，开发了一种具有时间和agent分布式计算的实时CG-MPC求解器，并证明其具有有界的解跟踪误差。这意味着即使在存在扰动和计算误差的情况下，该方法仍然能够保证系统的稳定性和性能。

🎯 应用场景

该研究成果可广泛应用于多智能体系统、博弈论控制、经济调度等领域。例如，在自动驾驶车辆的协同控制中，每个车辆可以作为一个agent，通过求解纳什均衡来优化自身的行驶策略，从而实现交通流的优化。此外，该方法还可以应用于电力系统的经济调度、机器人群的协同任务分配等场景。

📄 摘要（原文）

We prove input-to-state stability (ISS) of perturbed Newton methods for generalized equations arising from Nash equilibrium (NE) and generalized NE (GNE) problems. This ISS property allows the use of inexact computation in equilibrium-seeking to enable fast solution tracking in dynamic systems and plays a critical role in the analysis of interconnected plant-optimizer feedback systems such as model predictive control (MPC) with iterative optimization algorithms. For NE problems, we address the local convergence of perturbed Newton methods from the variational inequality (VI) stability analysis and point out that the ISS of the perturbed Josephy-Newton can be established under less restrictive stability/regularity conditions compared to the existing results established for nonlinear optimizations. Agent-distributed Josephy-Newton methods are then developed to enable agent-wise local computations. For GNE problems, since they cannot be reduced to VI problems in general, we use semismooth Newton methods to solve the semismooth equations arising from the Karush-Kuhn-Tucker (KKT) systems of the GNE problem and show that the ISS of the perturbed semismooth Newton methods can be established under a quasi-regularity condition. Agent-distributed updates are also developed for the GNE-seeking. To illustrate the use of the ISS in dynamic systems, applications to constrained game-theoretic MPC (CG-MPC) are studied. A real-time CG-MPC solver with both time- and agent- distributed computations is developed and is proven to have bounded solution tracking errors.