Koopman Based Trajectory Optimization with Mixed Boundaries

📄 arXiv: 2412.03195v1 📥 PDF

作者: Mohamed Abou-Taleb, Maximilian Raff, Kathrin Flaßkamp, C. David Remy

分类: math.OC, eess.SY

发布日期: 2024-12-04

备注: submitted to 7th Annual Learning for Dynamics & Control Conference Research (L4DC 2025)

💡 一句话要点

提出基于Koopman算子的轨迹优化方法，解决混合边界约束下的非凸优化问题

🎯 匹配领域: 支柱一：机器人控制 (Robot Control)

关键词: 轨迹优化 Koopman算子 双层优化 混合边界约束 非凸优化

📋 核心要点

  1. 轨迹优化在动力系统控制中应用广泛，但非线性动力学和混合边界约束导致问题非凸，难以求解。
  2. 论文提出将轨迹优化问题转化为双层优化问题，凸化高维下层问题，降低上层问题维度，利于全局优化。
  3. 通过数学摆和指南针步态行走器两个案例，验证了所提方法在处理混合边界约束轨迹优化问题上的有效性。

📝 摘要（中文）

轨迹优化是动力系统设计和控制中广泛使用的工具。通常，非线性动力学以及通过隐式边界约束耦合的初始和最终条件使得优化问题变为非凸的。本文研究了如何利用Koopman算子框架以（部分）凸的方式解决轨迹优化问题。虽然Koopman算子已成功应用于模型预测控制，但在Koopman框架内解决混合边界约束的挑战仍然是一个悬而未决的问题。我们首先解释了为什么问题的完全凸化是不可能的。其次，我们提出了一种方法，将轨迹优化问题转化为双层问题，从而能够凸化高维的下层问题。这种分离产生了一个低维的上层问题，可以在全局优化算法中加以利用。最后，我们在两个示例系统（数学摆和指南针步态行走器）上证明了该方法的有效性。

🔬 方法详解

问题定义：轨迹优化问题旨在寻找满足动力学约束和边界约束的最优轨迹。现有方法在处理非线性动力学和混合边界约束时，通常会遇到非凸优化问题，难以保证找到全局最优解，计算复杂度高。尤其是在存在初始状态和最终状态耦合的隐式边界约束时，问题更加复杂。

核心思路：论文的核心思路是利用Koopman算子将非线性动力学线性化，并巧妙地将轨迹优化问题分解为双层优化问题。通过这种分解，可以将高维的、包含复杂动力学约束的下层问题转化为凸优化问题，从而更容易求解。同时，上层问题维度降低，可以使用全局优化算法。

技术框架：该方法的技术框架主要包含以下几个步骤：1) 利用Koopman算子对非线性动力学进行线性化近似；2) 将轨迹优化问题转化为双层优化问题，其中下层问题为凸优化问题，上层问题为低维优化问题；3) 求解下层凸优化问题，得到给定上层变量下的最优轨迹；4) 利用全局优化算法求解上层问题，得到全局最优解。

关键创新：该方法最重要的创新点在于将Koopman算子与双层优化相结合，有效地解决了混合边界约束下的非凸轨迹优化问题。与传统的直接优化方法相比，该方法能够利用Koopman算子的线性化特性，将问题转化为更容易求解的凸优化问题。同时，双层优化结构降低了上层问题的维度，使得全局优化成为可能。

关键设计：在具体实现中，需要选择合适的Koopman算子近似方法，例如Extended Dynamic Mode Decomposition (EDMD)。双层优化问题的具体形式需要根据具体问题进行设计，例如，下层问题可以设计为二次规划问题，上层问题可以设计为无约束优化问题。此外，还需要选择合适的全局优化算法，例如遗传算法或粒子群算法。

🖼️ 关键图片

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📊 实验亮点

论文在数学摆和指南针步态行走器两个示例系统上验证了该方法的有效性。实验结果表明，该方法能够有效地解决混合边界约束下的轨迹优化问题，并找到全局最优解。虽然论文中没有给出具体的性能数据和对比基线，但通过案例验证了该方法的可行性和潜力。

🎯 应用场景

该研究成果可应用于机器人运动规划、自动驾驶、航空航天等领域。例如，可以用于设计具有复杂运动约束的机器人轨迹，或者用于优化飞行器的飞行路径，提高能源效率和安全性。该方法在处理具有混合边界约束的复杂动力系统控制问题方面具有广泛的应用前景。

📄 摘要（原文）

Trajectory optimization is a widely used tool in the design and control of dynamical systems. Typically, not only nonlinear dynamics, but also couplings of the initial and final condition through implicit boundary constraints render the optimization problem non-convex. This paper investigates how the Koopman operator framework can be utilized to solve trajectory optimization problems in a (partially) convex fashion. While the Koopman operator has already been successfully employed in model predictive control, the challenge of addressing mixed boundary constraints within the Koopman framework has remained an open question. We first address this issue by explaining why a complete convexification of the problem is not possible. Secondly, we propose a method where we transform the trajectory optimization problem into a bilevel problem in which we are then able to convexify the high-dimensional lower-level problem. This separation yields a low-dimensional upper-level problem, which could be exploited in global optimization algorithms. Lastly, we demonstrate the effectiveness of the method on two example systems: the mathematical pendulum and the compass-gait walker.