Carleman-Fourier Linearization of Complex Dynamical Systems: Convergence and Explicit Error Bounds

📄 arXiv: 2411.11598v1 📥 PDF

作者: Panpan Chen, Nader Motee, Qiyu Sun

分类: math.DS, eess.SY

发布日期: 2024-11-18

💡 一句话要点

提出Carleman-Fourier线性化方法，解决复杂动力系统的精确近似与控制问题

🎯 匹配领域: 支柱一：机器人控制 (Robot Control)

关键词: Carleman线性化 傅里叶分析 非线性动力系统 模型预测控制 安全验证 可达性分析 量子计算

📋 核心要点

  1. 传统Carleman线性化方法在处理非线性动力系统时，尤其是在长时间和较大区域内，精度有限。
  2. 该论文提出Carleman-Fourier线性化方法，利用傅里叶基函数将非线性系统转化为无限维线性系统。
  3. 通过有限截面近似和误差界限分析，证明了该方法具有指数收敛性，并提供了实际应用指导。

📝 摘要（中文）

本文提出了一种针对具有多个基频的周期性向量场的非线性动力系统的Carleman-Fourier线性化方法。通过采用傅里叶基函数，将非线性动力系统转换为无限维空间上的线性模型。与传统的基于单项式的Carleman线性化相比，该方法在平衡点周围的更广阔区域和更长的时间范围内产生更精确的近似。此外，我们为得到的无限维系统开发了一种有限截面近似，并提供了显式的误差界限，表明随着截断长度的增加，解会指数收敛到原始系统的解。对于特定类型的动力系统，可以在整个时间范围内实现指数收敛。这些结果的实际意义在于指导选择合适的截断长度，用于模型预测控制、通过可达性分析进行安全验证以及高效的量子计算算法等应用。理论结果通过示例仿真得到验证。

🔬 方法详解

问题定义：论文旨在解决非线性动力系统的精确近似和控制问题，特别是那些具有多个基频的周期性向量场的系统。传统Carleman线性化方法使用单项式展开，在远离平衡点或长时间范围内，近似精度迅速下降，限制了其在模型预测控制、安全验证等领域的应用。

核心思路：论文的核心思路是利用傅里叶基函数来表示非线性动力系统中的非线性项。傅里叶基函数能够更有效地捕捉周期性行为，从而在更广阔的区域和更长的时间范围内提供更精确的近似。通过将非线性系统转化为无限维线性系统，可以利用线性系统理论进行分析和控制。

技术框架：该方法首先将非线性动力系统表示为具有周期性向量场的形式。然后，利用傅里叶基函数对非线性项进行展开，将原始系统转换为无限维空间上的线性系统。为了便于计算和应用，对无限维系统进行有限截面近似，得到一个有限维的线性系统。最后，通过分析截断误差，给出显式的误差界限，并证明了随着截断长度的增加，解会指数收敛到原始系统的解。

关键创新：该方法最重要的技术创新点在于使用傅里叶基函数进行线性化，而不是传统的单项式。这种方法能够更好地捕捉周期性行为，从而提高近似精度和适用范围。此外，论文还提供了显式的误差界限，为选择合适的截断长度提供了理论指导。

关键设计：关键设计包括傅里叶基函数的选择、截断长度的确定以及误差界限的推导。傅里叶基函数的选择需要根据具体问题的周期性特征进行调整。截断长度的确定需要在精度和计算复杂度之间进行权衡。误差界限的推导需要利用傅里叶分析和线性系统理论的工具。

📊 实验亮点

论文通过理论分析证明了所提出的Carleman-Fourier线性化方法具有指数收敛性，并提供了显式的误差界限。仿真结果验证了该方法在平衡点周围的更广阔区域和更长的时间范围内，比传统Carleman线性化方法具有更高的精度。

🎯 应用场景

该研究成果可应用于多个领域，包括模型预测控制、通过可达性分析进行安全验证、以及高效的量子计算算法设计。通过提高非线性动力系统的近似精度，可以提升控制系统的性能和安全性，并加速量子算法的开发。

📄 摘要（原文）

This paper presents a Carleman-Fourier linearization method for nonlinear dynamical systems with periodic vector fields involving multiple fundamental frequencies. By employing Fourier basis functions, the nonlinear dynamical system is transformed into a linear model on an infinite-dimensional space. The proposed approach yields accurate approximations over extended regions around equilibria and for longer time horizons, compared to traditional Carleman linearization with monomials. Additionally, we develop a finite-section approximation for the resulting infinite-dimensional system and provide explicit error bounds that demonstrate exponential convergence to the original system's solution as the truncation length increases. For specific classes of dynamical systems, exponential convergence is achieved across the entire time horizon. The practical significance of these results lies in guiding the selection of suitable truncation lengths for applications such as model predictive control, safety verification through reachability analysis, and efficient quantum computing algorithms. The theoretical findings are validated through illustrative simulations.