Artificial intelligence for partial differential equations in computational mechanics: A review
作者: Yizheng Wang, Jinshuai Bai, Zhongya Lin, Qimin Wang, Cosmin Anitescu, Jia Sun, Mohammad Sadegh Eshaghi, Yuantong Gu, Xi-Qiao Feng, Xiaoying Zhuang, Timon Rabczuk, Yinghua Liu
分类: eess.SY, cs.LG
发布日期: 2024-10-21 (更新: 2024-11-23)
💡 一句话要点
综述：人工智能在计算力学偏微分方程求解中的应用
🎯 匹配领域: 支柱九：具身大模型 (Embodied Foundation Models)
关键词: 人工智能 偏微分方程 计算力学 物理信息神经网络 深度学习
📋 核心要点
- 传统数值方法求解偏微分方程计算量大，耗时久，难以满足复杂问题的需求。
- AI for PDEs通过融合数据和物理信息，避免了从头计算，为偏微分方程求解提供了一种新的途径。
- AI for PDEs有望成为未来计算力学的基础模型，加速传统数值算法，并在固体力学、流体力学等领域发挥重要作用。
📝 摘要（中文）
近年来，人工智能（AI）应用日益广泛，尤其是在人工智能与传统科学融合的“AI for Science”领域，受到了广泛关注。在AI for Science中，利用人工智能算法求解偏微分方程（AI for PDEs）已成为计算力学领域的研究热点。AI for PDEs的核心是数据与偏微分方程（PDEs）的融合，几乎可以解决任何PDE。本文全面回顾了AI for PDEs的研究进展，总结了现有算法和理论，并探讨了AI for PDEs在计算力学中的应用，包括固体力学、流体力学和生物力学。现有的AI for PDEs算法包括基于物理信息神经网络（PINNs）、深度能量方法（DEM）、算子学习和物理信息神经算子（PINO）的算法。AI for PDEs代表了一种新的科学模拟方法，它使用大量数据为特定问题提供近似解，然后根据特定的物理定律进行微调，避免了像传统算法那样从头开始计算。因此，AI for PDEs是未来计算力学基础模型的原型，能够显著加速传统数值算法。
🔬 方法详解
问题定义：论文旨在综述人工智能（AI）在求解计算力学中的偏微分方程（PDEs）方面的最新进展。传统数值方法，如有限元法，在处理复杂几何、非线性材料或高维问题时，计算成本高昂，效率低下。AI for PDEs旨在利用AI技术，特别是深度学习，来克服这些挑战，提供更高效、更准确的PDE求解方案。
核心思路：论文的核心思路是回顾和总结现有的AI for PDEs方法，包括基于物理信息神经网络（PINNs）、深度能量方法（DEM）、算子学习和物理信息神经算子（PINO）等。这些方法的核心思想是将PDE的物理信息嵌入到神经网络的训练过程中，从而使网络能够学习到PDE的解。通过数据驱动和物理约束的结合，AI for PDEs能够避免传统数值方法的繁琐计算，并能够处理一些传统方法难以解决的问题。
技术框架：AI for PDEs的整体框架通常包括以下几个主要模块：1）数据生成模块：用于生成训练数据，可以是实验数据或通过传统数值方法生成的数据。2）神经网络模型：选择合适的神经网络结构，如前馈神经网络、卷积神经网络或循环神经网络。3）物理信息嵌入模块：将PDE的物理信息（如方程、边界条件等）嵌入到神经网络的损失函数中。4）优化模块：使用优化算法（如梯度下降法）训练神经网络，使其能够满足PDE的约束。5）后处理模块：对神经网络的输出进行后处理，得到最终的PDE解。
关键创新：AI for PDEs的关键创新在于将PDE的物理信息嵌入到神经网络的训练过程中。传统的机器学习方法通常只关注数据的拟合，而忽略了物理规律的约束。AI for PDEs通过将PDE的残差作为损失函数的一部分，强制神经网络学习满足PDE的解。这种方法不仅提高了求解的准确性，还增强了模型的泛化能力。
关键设计：在PINNs中，关键设计包括：1）选择合适的神经网络结构，如多层感知机（MLP）。2）定义合适的损失函数，包括PDE残差项、边界条件项和初始条件项。3）使用自动微分技术计算PDE残差。4）选择合适的优化算法，如Adam或L-BFGS。在算子学习中，关键设计包括：1）使用神经网络学习PDE解算子，而不是直接学习PDE的解。2）使用傅里叶神经算子（FNO）或DeepONet等结构。3）使用大量的训练数据来训练算子。
🖼️ 关键图片
📊 实验亮点
该综述总结了现有AI for PDEs算法，包括PINNs、DEM、算子学习和PINO等，并讨论了它们在固体力学、流体力学和生物力学中的应用。强调了AI for PDEs通过融合数据和物理信息，避免了传统数值方法的繁琐计算，并能够处理一些传统方法难以解决的问题。此外，文章还展望了AI for PDEs作为未来计算力学基础模型的潜力。
🎯 应用场景
AI for PDEs在计算力学领域具有广泛的应用前景，包括固体力学中的结构分析、流体力学中的流场模拟、生物力学中的组织建模等。它可以用于加速工程设计过程，优化产品性能，并为科学研究提供新的工具。未来，AI for PDEs有望成为一种通用的科学计算方法，应用于更多的科学和工程领域。
📄 摘要（原文）
In recent years, Artificial intelligence (AI) has become ubiquitous, empowering various fields, especially integrating artificial intelligence and traditional science (AI for Science: Artificial intelligence for science), which has attracted widespread attention. In AI for Science, using artificial intelligence algorithms to solve partial differential equations (AI for PDEs: Artificial intelligence for partial differential equations) has become a focal point in computational mechanics. The core of AI for PDEs is the fusion of data and partial differential equations (PDEs), which can solve almost any PDEs. Therefore, this article provides a comprehensive review of the research on AI for PDEs, summarizing the existing algorithms and theories. The article discusses the applications of AI for PDEs in computational mechanics, including solid mechanics, fluid mechanics, and biomechanics. The existing AI for PDEs algorithms include those based on Physics-Informed Neural Networks (PINNs), Deep Energy Methods (DEM), Operator Learning, and Physics-Informed Neural Operator (PINO). AI for PDEs represents a new method of scientific simulation that provides approximate solutions to specific problems using large amounts of data, then fine-tuning according to specific physical laws, avoiding the need to compute from scratch like traditional algorithms. Thus, AI for PDEs is the prototype for future foundation models in computational mechanics, capable of significantly accelerating traditional numerical algorithms.