Underapproximating Safe Domains of Attraction for Discrete-Time Systems Using Implicit Representations of Backward Reachable Sets
作者: Mohamed Serry, Jun Liu
分类: math.OC, eess.SY
发布日期: 2024-09-16 (更新: 2025-05-20)
备注: This updated manuscript corrects errors in the formulas for the bounds used in computing ellipsoidal regions of attraction
💡 一句话要点
提出一种基于隐式表示的反向可达集迭代方法，用于离散时间系统安全吸引域的内逼近。
🎯 匹配领域: 支柱三：空间感知与语义 (Perception & Semantics)
关键词: 吸引域估计 反向可达集 隐式表示 非线性系统 安全控制
📋 核心要点
- 非线性系统的稳定性和吸引性分析与验证是一个重要的研究课题，但精确估计非线性系统的吸引域仍然具有挑战性。
- 该论文提出了一种迭代方法，利用安全反向可达集的隐式表示，单调地内逼近离散时间系统的安全吸引域。
- 通过二维和四维非线性系统的数值实验，验证了该方法在估计安全吸引域方面的有效性。
📝 摘要（中文）
本文提出了一种迭代方法，用于精确地内逼近一般离散时间自治非线性系统的安全（即状态约束）吸引域。该方法依赖于安全吸引域的安全反向可达集的隐式表示，这些区域可以使用例如二次Lyapunov函数轻松构建。该方法的迭代是单调的（在集合包含的意义上），每次迭代都会产生一个安全吸引域，以次水平集的形式给出，该次水平集内逼近安全吸引域。所得到的吸引域的次水平集表示可以有效地用于验证给定感兴趣点是否包含在安全吸引域中。通过涉及二维和四维非线性系统的两个数值例子来说明该方法。
🔬 方法详解
问题定义：论文旨在解决非线性离散时间系统的安全吸引域精确估计问题。现有方法要么过于保守，要么仅限于低维系统，难以在保证安全性的前提下，准确估计吸引域的大小。
核心思路：论文的核心思路是利用安全反向可达集的隐式表示来迭代地构造安全吸引域的内逼近。通过不断迭代，逐步扩大安全吸引域的估计范围，同时保证估计的吸引域始终是安全的（即满足状态约束）。这种方法避免了直接计算吸引域的复杂性，转而利用更容易计算的反向可达集。
技术框架：该方法主要包含以下几个阶段：1. 使用例如二次Lyapunov函数等方法，初始化一个初始的安全吸引域。2. 计算该安全吸引域的安全反向可达集。3. 使用隐式表示（例如次水平集）来表示该反向可达集。4. 将该反向可达集作为新的安全吸引域，重复步骤2和3，进行迭代。每次迭代都保证得到一个更大的安全吸引域，且该吸引域是真实安全吸引域的内逼近。
关键创新：该方法最重要的创新在于利用了安全反向可达集的隐式表示，并通过迭代的方式逐步逼近安全吸引域。与直接估计吸引域的方法相比，该方法避免了复杂的计算，并且能够保证估计的吸引域是安全的。此外，该方法是单调的，每次迭代都会得到一个更大的安全吸引域。
关键设计：论文的关键设计包括：1. 如何选择合适的初始安全吸引域（例如使用二次Lyapunov函数）。2. 如何有效地计算安全反向可达集。3. 如何选择合适的隐式表示（例如次水平集）来表示反向可达集。4. 如何设计迭代停止条件，以在精度和计算复杂度之间取得平衡。这些设计的具体细节在论文中可能没有详细阐述，需要进一步研究。
🖼️ 关键图片
📊 实验亮点
论文通过二维和四维非线性系统的数值实验验证了该方法的有效性。实验结果表明，该方法能够有效地内逼近安全吸引域，并且每次迭代都能得到一个更大的安全吸引域。虽然论文中没有提供具体的性能数据和对比基线，但实验结果表明该方法具有一定的应用潜力。
🎯 应用场景
该研究成果可应用于对安全性要求较高的控制系统设计，例如航空航天、机器人等领域。通过精确估计系统的安全吸引域，可以确保系统在受到扰动时，能够安全地返回到期望的状态，避免发生危险。此外，该方法还可以用于验证控制系统的安全性，提高系统的可靠性。
📄 摘要（原文）
Analyzing and certifying stability and attractivity of nonlinear systems is a topic of research interest that has been extensively investigated by control theorists and engineers for many years. Despite that, accurately estimating domains of attraction for nonlinear systems remains a challenging task, where available estimation approaches are either conservative or limited to low-dimensional systems. In this work, we propose an iterative approach to accurately underapproximate safe (i.e., state-constrained) domains of attraction for general discrete-time autonomous nonlinear systems. Our approach relies on implicit representations of safe backward reachable sets of safe regions of attraction, where such regions can be be easily constructed using, e.g., quadratic Lyapunov functions. The iterations of our approach are monotonic (in the sense of set inclusion), where each iteration results in a safe region of attraction, given as a sublevel set, that underapproximates the safe domain of attraction. The sublevel set representations of the resulting regions of attraction can be efficiently utilized in verifying the inclusion of given points of interest in the safe domain of attraction. We illustrate our approach through two numerical examples, involving two- and four-dimensional nonlinear systems.