Piecewise regression via mixed-integer programming for MPC

📄 arXiv: 2407.06665v1 📥 PDF

作者: Dieter Teichrib, Moritz Schulze Darup

分类: math.OC, eess.SY

发布日期: 2024-07-09

备注: 12 pages, 3 figures, 1 table, published in the proceedings of Machine Learning Research vol 242

期刊: Proceedings of Machine Learning Research 242 (2024) 337-348

💡 一句话要点

提出基于混合整数规划的分段回归方法，用于模型预测控制

🎯 匹配领域: 支柱一：机器人控制 (Robot Control)

关键词: 分段回归 混合整数规划 模型预测控制 全局优化 非线性逼近

📋 核心要点

  1. 现有分段回归方法，如神经网络，在训练时易陷入局部最优，难以保证全局最优解。
  2. 提出一种基于混合整数规划（MIP）的分段回归方法，旨在寻找全局最优解，且不限制函数类型。
  3. 该方法生成的分段函数易于评估，适用于优化问题，尤其适合在模型预测控制（MPC）中使用。

📝 摘要（中文）

分段回归是一种通用的方法，用于在各种学科中从有限的、可能存在噪声的数据点中逼近复杂函数。在控制领域，分段回归被用于逼近模型预测控制（MPC）的最优控制律、最优价值函数或未知的系统动力学。神经网络是解决分段回归问题的常见选择。然而，由于其非线性结构，训练通常基于梯度方法，这可能无法找到全局最优解，甚至无法找到导致较小逼近误差的解。为了克服这个问题并找到全局最优解，可以使用基于混合整数规划（MIP）的方法。然而，已知的基于MIP的方法要么仅限于特殊类型的函数（例如，凸分段仿射函数），要么导致分段定义函数的区域数量过多，从而导致复杂的逼近。这两种情况都使得在控制框架中的使用变得复杂。我们提出了一种新的基于MIP的方法，该方法不限于特定类型的分段定义函数，并且可以快速评估，可以在优化问题中使用，非常适合在控制中使用。

🔬 方法详解

问题定义：论文旨在解决使用分段回归逼近复杂函数时，现有方法（如神经网络）难以找到全局最优解的问题。特别是在模型预测控制（MPC）领域，需要精确且易于评估的分段函数来逼近最优控制律或价值函数。已有的基于MIP的方法存在局限性，要么只能处理特定类型的函数，要么生成的分段函数过于复杂，难以应用。

核心思路：论文的核心思路是利用混合整数规划（MIP）的全局优化能力，设计一种新的MIP模型，该模型能够灵活地逼近各种类型的分段函数，并且生成的分段函数具有较低的复杂度，便于快速评估和在优化问题中使用。通过MIP的约束和目标函数设计，保证找到全局最优的分段回归模型。

技术框架：该方法的技术框架主要包括以下几个阶段：1) 数据预处理：对输入数据进行必要的清洗和归一化处理。2) MIP模型构建：根据问题的具体需求，构建合适的MIP模型，包括定义决策变量、目标函数和约束条件。3) MIP求解：使用现成的MIP求解器（如Gurobi或CPLEX）求解构建的MIP模型，得到最优的分段回归函数。4) 结果后处理：对求解得到的分段回归函数进行必要的后处理，例如简化表达式或进行可视化。

关键创新：该方法最重要的技术创新点在于提出了一种新的MIP模型，该模型能够灵活地逼近各种类型的分段函数，而不仅仅局限于凸分段仿射函数。此外，该模型的设计目标是生成复杂度较低的分段函数，从而保证了评估速度和在优化问题中的适用性。与传统的基于梯度下降的方法相比，该方法能够保证找到全局最优解。

关键设计：MIP模型的关键设计包括：1) 使用二进制变量来表示数据点所属的分段区域。2) 使用连续变量来表示分段函数在每个区域内的参数。3) 设计合适的约束条件来保证分段函数在区域边界上的连续性。4) 设计目标函数来最小化逼近误差，并控制分段函数的复杂度。具体的参数设置和损失函数需要根据具体问题进行调整。

🖼️ 关键图片

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📊 实验亮点

论文的主要亮点在于提出了一种新的基于MIP的分段回归方法，该方法能够找到全局最优解，并且适用于各种类型的分段函数。与传统的基于梯度下降的方法相比，该方法能够避免陷入局部最优解的问题。此外，该方法生成的分段函数具有较低的复杂度，便于快速评估和在优化问题中使用。具体的实验结果（论文中未提供）将进一步验证该方法的有效性和优越性。

🎯 应用场景

该研究成果可广泛应用于模型预测控制（MPC）、强化学习、系统辨识等领域。在MPC中，可用于逼近最优控制策略，提高控制性能。在强化学习中，可用于逼近价值函数，加速学习过程。在系统辨识中，可用于建立非线性系统的分段模型，提高模型精度。该方法具有全局最优性和灵活性，有望推动相关领域的发展。

📄 摘要（原文）

Piecewise regression is a versatile approach used in various disciplines to approximate complex functions from limited, potentially noisy data points. In control, piecewise regression is, e.g., used to approximate the optimal control law of model predictive control (MPC), the optimal value function, or unknown system dynamics. Neural networks are a common choice to solve the piecewise regression problem. However, due to their nonlinear structure, training is often based on gradient-based methods, which may fail to find a global optimum or even a solution that leads to a small approximation error. To overcome this problem and to find a global optimal solution, methods based on mixed-integer programming (MIP) can be used. However, the known MIP-based methods are either limited to a special class of functions, e.g., convex piecewise affine functions, or they lead to complex approximations in terms of the number of regions of the piecewise defined function. Both complicate a usage in the framework of control. We propose a new MIP-based method that is not restricted to a particular class of piecewise defined functions and leads to functions that are fast to evaluate and can be used within an optimization problem, making them well suited for use in control.