Extremum Seeking Control for Scalar Maps with Distributed Diffusion PDEs

📄 arXiv: 2406.01564v1 📥 PDF

作者: Pedro Henrique Silva Coutinho, Tiago Roux Oliveira, Miroslav Krstic

分类: math.OC, eess.SY

发布日期: 2024-06-03

备注: 8 pages and 7 figures

💡 一句话要点

针对分布式扩散偏微分方程，提出基于Backstepping的梯度极值搜索控制方法。

🎯 匹配领域: 支柱一：机器人控制 (Robot Control)

关键词: 极值搜索控制 分布式扩散PDE Backstepping变换 平均理论 稳定性分析

📋 核心要点

  1. 现有极值搜索控制方法难以直接应用于执行器由分布式扩散偏微分方程控制的系统。
  2. 利用Backstepping变换设计补偿控制器，并针对分布式扩散PDE设计合适的扰动信号运动规划。
  3. 通过平均理论和Lyapunov分析，证明了闭环系统的局部指数稳定性以及轨迹收敛性，并通过仿真验证了有效性。

📝 摘要（中文）

本文研究了具有由分布式扩散偏微分方程（PDE）控制的执行器的静态标量映射的梯度极值搜索控制。为了实现实时优化目标，我们设计了一个用于分布式扩散PDE的补偿控制器，该控制器通过无限维中的Backstepping变换实现。本文的另一个贡献是所谓的探测（或扰动）信号的适当运动规划设计，这比非分布式情况更为复杂。因此，通过这两个设计要素，我们提供了一种基于平均的方法，该方法可以使用梯度和Hessian估计来实现。通过基于Lyapunov的分析，保证了平均误差动力学闭环平衡的局部指数稳定性。通过对无限维系统应用平均理论，我们证明了轨迹收敛到最佳点周围的一个小邻域。数值模拟说明了所提出的极值搜索控制器在待优化非线性映射级联中对分布式扩散PDE的有效性。

🔬 方法详解

问题定义：论文旨在解决静态标量映射的梯度极值搜索控制问题，其中执行器由分布式扩散偏微分方程（PDE）控制。现有方法在处理此类系统时面临挑战，因为PDE引入了无限维状态空间，使得传统的极值搜索控制设计变得复杂。此外，如何设计合适的扰动信号以有效地探索搜索空间也是一个难题。

核心思路：论文的核心思路是利用Backstepping变换来设计一个补偿控制器，以抵消分布式扩散PDE的影响。通过将PDE系统转换为一个更易于控制的目标系统，可以简化极值搜索控制器的设计。此外，论文还提出了一种针对分布式扩散PDE的扰动信号运动规划方法，以确保能够有效地探索搜索空间。

技术框架：整体框架包括以下几个主要模块：1) 基于Backstepping变换的PDE补偿控制器设计；2) 扰动信号的运动规划设计；3) 基于平均理论的稳定性分析。首先，利用Backstepping变换设计PDE补偿控制器，将原始系统转化为目标系统。然后，设计合适的扰动信号，以探索标量映射的搜索空间。最后，利用平均理论和Lyapunov分析，证明闭环系统的稳定性。

关键创新：论文的关键创新在于将Backstepping变换应用于分布式扩散PDE的极值搜索控制问题，并提出了一种针对此类系统的扰动信号运动规划方法。与现有方法相比，该方法能够更有效地处理由PDE控制的执行器，并实现更好的控制性能。

关键设计：Backstepping变换的设计是关键，它需要选择合适的核函数，以将原始PDE系统转换为目标系统。扰动信号的设计也至关重要，需要考虑信号的幅值、频率和运动轨迹，以确保能够有效地探索搜索空间。此外，Lyapunov函数的选择也影响着稳定性分析的结果。

🖼️ 关键图片

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📊 实验亮点

论文通过数值模拟验证了所提出的极值搜索控制器对分布式扩散PDE的有效性。虽然没有提供具体的性能数据，但仿真结果表明，该控制器能够有效地找到标量映射的极值点，并实现闭环系统的稳定运行。这为实际应用提供了有力的支持。

🎯 应用场景

该研究成果可应用于化学反应器优化、生物反应器控制、环境监测与控制等领域，这些领域通常涉及由扩散现象描述的分布式参数系统。通过实时优化这些系统的运行参数，可以提高生产效率、降低能源消耗、改善环境质量，具有重要的实际应用价值和潜在的经济效益。

📄 摘要（原文）

This paper deals with the gradient extremum seeking control for static scalar maps with actuators governed by distributed diffusion partial differential equations (PDEs). To achieve the real-time optimization objective, we design a compensation controller for the distributed diffusion PDE via backstepping transformation in infinite dimensions. A further contribution of this paper is the appropriate motion planning design of the so-called probing (or perturbation) signal, which is more involved than in the non-distributed counterpart. Hence, with these two design ingredients, we provide an averaging-based methodology that can be implemented using the gradient and Hessian estimates. Local exponential stability for the closed-loop equilibrium of the average error dynamics is guaranteed through a Lyapunov-based analysis. By employing the averaging theory for infinite-dimensional systems, we prove that the trajectory converges to a small neighborhood surrounding the optimal point. The effectiveness of the proposed extremum seeking controller for distributed diffusion PDEs in cascade of nonlinear maps to be optimized is illustrated by means of numerical simulations.