Sensitivity Analysis for Piecewise-Affine Approximations of Nonlinear Programs with Polytopic Constraints

📄 arXiv: 2405.20387v1 📥 PDF

作者: Leila Gharavi, Changrui Liu, Bart De Schutter, Simone Baldi

分类: eess.SY, math.OC

发布日期: 2024-05-30

备注: 6 pages, 4 figures, accepted for publication in IEEE Control Systems Letters

DOI: 10.1109/LCSYS.2024.3408711

💡 一句话要点

针对多胞形约束非线性规划，提出分段仿射近似的灵敏度分析方法

🎯 匹配领域: 支柱一：机器人控制 (Robot Control)

关键词: 非线性规划 分段仿射近似 灵敏度分析 凸模 多胞形约束

📋 核心要点

  1. 非线性规划在非线性系统控制中应用广泛，但通用NLP计算成本高昂，需要高效近似方法。
  2. 论文提出基于凸模扰动分析的灵敏度分析方法，为多胞形约束NLP的分段仿射近似提供误差界限。
  3. 通过Eggholder函数和倒立摆控制的案例研究，验证了理论结果，并展示了该方法的有效性。

📝 摘要（中文）

非线性规划(NLP)在非线性系统的优化控制中普遍存在。求解通用NLP的计算成本很高，因此需要开发快速硬件或易于处理的次优近似。本文研究了当非线性连续目标函数被分段仿射(PWA)函数近似时，具有多胞形约束的NLP解的灵敏度。通过利用凸模的扰动分析，我们推导出了原始多胞形约束NLP的最优解与其近似公式的最优解之间距离的保证界限。我们的方法有助于确定实现所需解界限的标准。关于Eggholder函数和倒立摆的非线性模型预测控制的两个案例研究证明了理论结果。

🔬 方法详解

问题定义：论文旨在解决非线性规划(NLP)在非线性系统控制中计算复杂度高的问题。现有的通用NLP求解器计算成本高，难以满足实时性要求，而直接采用次优近似方法又缺乏对近似误差的有效评估和控制。因此，如何找到一种既能降低计算复杂度，又能保证解的精度的方法是关键挑战。

核心思路：论文的核心思路是利用分段仿射(PWA)函数来近似非线性目标函数，从而将原NLP问题转化为一个更容易求解的优化问题。同时，通过灵敏度分析，研究PWA近似对原问题解的影响，并给出近似解与原问题解之间的误差界限。这样，就可以在保证一定精度的情况下，显著降低计算复杂度。

技术框架：论文的技术框架主要包括以下几个步骤：1) 将原非线性规划问题转化为具有多胞形约束的NLP问题；2) 利用分段仿射函数对非线性目标函数进行近似；3) 利用凸模的扰动分析方法，推导近似问题解与原问题解之间的误差界限；4) 通过案例研究验证理论结果，并分析不同参数对误差界限的影响。

关键创新：论文的关键创新在于将凸模的扰动分析方法应用于分段仿射近似的灵敏度分析。通过这种方法，可以得到近似解与原问题解之间的一个可保证的误差界限，从而为选择合适的PWA近似提供理论指导。与传统的灵敏度分析方法相比，该方法能够更有效地处理非线性问题，并给出更精确的误差估计。

关键设计：论文的关键设计在于如何选择合适的凸模来描述非线性目标函数的局部 Lipschitz 常数，以及如何利用多胞形约束的几何性质来简化误差界限的计算。此外，论文还探讨了PWA近似的划分方式对误差界限的影响，并提出了一些选择PWA近似参数的建议。

📊 实验亮点

论文通过Eggholder函数和倒立摆的非线性模型预测控制两个案例研究验证了理论结果。在Eggholder函数优化中，展示了误差界限与PWA近似划分方式的关系。在倒立摆控制中，验证了该方法在实际控制系统中的有效性，并表明通过选择合适的PWA近似参数，可以在保证控制性能的前提下，显著降低计算复杂度。

🎯 应用场景

该研究成果可应用于各种需要实时优化控制的非线性系统，例如机器人控制、电力系统优化、化工过程控制等。通过使用分段仿射近似和灵敏度分析，可以在保证控制性能的前提下，显著降低计算复杂度，提高系统的实时性。未来的研究可以进一步探索更有效的PWA近似方法和更精确的误差界限估计方法。

📄 摘要（原文）

Nonlinear Programs (NLPs) are prevalent in optimization-based control of nonlinear systems. Solving general NLPs is computationally expensive, necessitating the development of fast hardware or tractable suboptimal approximations. This paper investigates the sensitivity of the solutions of NLPs with polytopic constraints when the nonlinear continuous objective function is approximated by a PieceWise-Affine (PWA) counterpart. By leveraging perturbation analysis using a convex modulus, we derive guaranteed bounds on the distance between the optimal solution of the original polytopically-constrained NLP and that of its approximated formulation. Our approach aids in determining criteria for achieving desired solution bounds. Two case studies on the Eggholder function and nonlinear model predictive control of an inverted pendulum demonstrate the theoretical results.