On the analysis of a higher-order Lotka-Volterra model: an application of S-tensors and the polynomial complementarity problem

📄 arXiv: 2405.18333v2 📥 PDF

作者: Shaoxuan Cui, Qi Zhao, Guofeng Zhang, Hildeberto Jardón-Kojakhmetov, Ming Cao

分类: eess.SY

发布日期: 2024-05-28 (更新: 2024-07-08)

💡 一句话要点

提出高阶Lotka-Volterra模型，利用S-张量和多项式互补问题分析生态系统平衡与稳定性。

🎯 匹配领域: 支柱五：交互与反应 (Interaction & Reaction)

关键词: Lotka-Volterra模型 高阶相互作用 S-张量 多项式互补问题 生态系统建模 平衡点分析 稳定性分析

📋 核心要点

  1. 传统Lotka-Volterra模型假设物种间相互作用是成对的且影响是加性的，无法准确描述真实生态系统中物种密度对生长的非加性影响。
  2. 论文提出高阶Lotka-Volterra模型，引入高阶相互作用（HOIs）来捕捉物种间更复杂的间接影响，从而更准确地模拟生态系统。
  3. 论文利用S-张量、单调系统理论和多项式互补问题，分析了模型的平衡点存在性、唯一性和稳定性，并通过数值实验验证了理论结果。

📝 摘要（中文）

本研究针对传统Lotka-Volterra模型无法捕捉物种密度对物种生长非加性影响的局限性，引入了高阶相互作用（HOIs）的概念，以捕捉例如一个物种通过第三个物种对第二个物种产生的间接影响。为此，我们提出了一个通用的高阶Lotka-Volterra模型。借助S-张量，我们为非齐次多项式方程组的正平衡的存在性提供了一个结果。随后，利用该结果、单调系统理论以及多项式互补问题的结果，我们提供了关于相应平衡的存在性、唯一性和稳定性的综合结果。这些结果可以被认为是经典Lotka-Volterra模型的许多类似结果的自然扩展，尤其是在完全合作、两派竞争和纯粹竞争的情况下。最后，我们提供了说明性的数值例子来突出我们的贡献。

🔬 方法详解

问题定义：传统Lotka-Volterra模型假设物种间的相互作用是成对的，并且它们的影响是加性的，这在描述真实的生态系统时存在局限性。实际生态系统中，物种密度对物种生长的影响往往是非加性的，例如一个物种可能通过影响另一个物种来间接影响第三个物种。因此，需要一种能够捕捉这种高阶相互作用的模型。

核心思路：论文的核心思路是扩展传统的Lotka-Volterra模型，引入高阶相互作用项（HOIs），从而能够捕捉物种之间更复杂的非加性相互作用。通过将相互作用扩展到更高阶，模型能够更好地反映真实生态系统中物种之间的复杂关系。

技术框架：论文首先提出了一个通用的高阶Lotka-Volterra模型。然后，利用S-张量的性质，证明了非齐次多项式方程组正平衡的存在性。接着，结合单调系统理论和多项式互补问题的相关结果，对模型的平衡点的存在性、唯一性和稳定性进行了全面的分析。最后，通过数值实验验证了理论分析的有效性。

关键创新：关键创新在于引入了高阶相互作用项（HOIs）到Lotka-Volterra模型中，从而能够捕捉物种之间更复杂的非加性相互作用。此外，利用S-张量和多项式互补问题来分析模型的平衡点，为研究高阶Lotka-Volterra模型的性质提供了一种新的方法。与现有方法的本质区别在于，传统模型只考虑成对的相互作用，而该模型考虑了更高阶的相互作用。

关键设计：论文中关键的设计包括：1) 高阶相互作用项的具体形式，需要根据实际生态系统的特点进行选择；2) S-张量的应用，需要根据模型的具体形式选择合适的S-张量；3) 多项式互补问题的求解，需要选择合适的算法。

📊 实验亮点

论文通过理论分析证明了高阶Lotka-Volterra模型在特定条件下（如完全合作、两派竞争和纯粹竞争）平衡点的存在性、唯一性和稳定性。数值实验验证了理论结果的有效性，并展示了高阶相互作用对生态系统动态的影响。具体性能数据未知。

🎯 应用场景

该研究成果可应用于生态系统建模、生物种群控制、疾病传播预测等领域。通过更准确地模拟物种间的复杂相互作用，可以更好地理解生态系统的动态变化，为生态保护和管理提供科学依据。此外，该模型也可推广到其他领域，如社会网络分析、经济系统建模等，具有广泛的应用前景。

📄 摘要（原文）

It is known that the effect of species' density on species' growth is non-additive in real ecological systems. This challenges the conventional Lotka-Volterra model, where the interactions are always pairwise and their effects are additive. To address this challenge, we introduce HOIs (Higher-Order Interactions) which are able to capture, for example, the indirect effect of one species on a second one correlating to a third species. Towards this end, we propose a general higher-order Lotka-Volterra model. We provide an existence result of a positive equilibrium for a non-homogeneous polynomial equation system with the help of S-tensors. Afterward, by utilizing the latter result, as well as the theory of monotone systems and results from the polynomial complementarity problem, we provide comprehensive results regarding the existence, uniqueness, and stability of the corresponding equilibrium. These results can be regarded as natural extensions of many analogous ones for the classical Lotka-Volterra model, especially in the case of full cooperation, competition among two factions, and pure competition. Finally, illustrative numerical examples are provided to highlight our contributions.