Explicit Bounds on the Hausdorff Distance for Truncated mRPI Sets via Norm-Dependent Contraction Rates

📄 arXiv: 2511.18374v1 📥 PDF

作者: Jiaxun Sun

分类: cs.RO, eess.SY, math.DS

发布日期: 2025-11-23

💡 一句话要点

提出显式界限以解决截断mRPI集的Hausdorff距离问题

🎯 匹配领域: 支柱一：机器人控制 (Robot Control)

关键词: Hausdorff距离 鲁棒控制 截断mRPI集 收敛性分析 数值实验 控制策略优化 智能系统

📋 核心要点

  1. 现有的mRPI近似方法虽然保证了渐近收敛，但缺乏量化截断误差的可计算表达式，限制了其实用性。
  2. 本文提出了一种显式的Hausdorff距离上界，利用诱导范数收缩因子和干扰集特性，提供了截断误差的解析表达。
  3. 通过数值实验，验证了所提界限的有效性和可扩展性，显示出在鲁棒不变集计算中的实际应用价值。

📝 摘要（中文）

本文首次建立了截断最小鲁棒正不变(mRPI)集与其无限时域极限之间Hausdorff距离的显式封闭形式上界。现有的mRPI近似方法通过几何或基于范数的论证保证渐近收敛，但未提供可计算的表达式来量化给定时域的截断误差。我们证明了误差满足公式：$d_H(\mathcal{E}N,\mathcal{E}\infty) \le r_W\,\gamma^{N+1}/(1-\gamma)$，其中$\gamma<1$为诱导范数收缩因子，$r_W$仅依赖于干扰集。该界限完全解析，无需迭代集计算，直接表征截断Minkowski级数的衰减速率。我们进一步展示了向量范数的选择作为设计参数，加速了收敛，显著提高了鲁棒不变集计算和基于管道的MPC的时域选择。数值实验验证了所提界限的锐利性、可扩展性和实际相关性。

🔬 方法详解

问题定义：本文旨在解决截断mRPI集与其无限时域极限之间Hausdorff距离的量化问题。现有方法未能提供可计算的截断误差表达式，影响了其在实际应用中的有效性。

核心思路：论文通过建立Hausdorff距离的显式上界，利用诱导范数收缩因子和干扰集的特性，提供了截断误差的解析表达式，从而克服了现有方法的不足。

技术框架：整体方法包括定义截断mRPI集、推导Hausdorff距离的上界、分析收敛性以及通过数值实验验证结果。主要模块包括理论推导和实验验证。

关键创新：最重要的技术创新在于首次提供了截断mRPI集的Hausdorff距离的显式上界，且该界限是完全解析的，避免了迭代计算的复杂性。

关键设计：关键参数包括诱导范数收缩因子$\gamma$和干扰集特性$r_W$，这些设计使得截断误差的计算变得可行且高效。

📊 实验亮点

实验结果表明，所提Hausdorff距离上界在不同的时域选择中表现出显著的收敛性，尤其是在干扰集较大时，收敛速度加快。与现有方法相比，所提方法在截断误差量化上具有更高的准确性和可扩展性，验证了其实际应用的有效性。

🎯 应用场景

该研究在鲁棒控制、自动驾驶和机器人导航等领域具有广泛的应用潜力。通过提供更精确的截断误差界限，可以优化控制策略，提高系统的稳定性和可靠性，进而推动智能系统的实际应用和发展。

📄 摘要（原文）

This paper establishes the first explicit and closed-form upper bound on the Hausdorff distance between the truncated minimal robust positively invariant (mRPI) set and its infinite-horizon limit. While existing mRPI approximations guarantee asymptotic convergence through geometric or norm-based arguments, none provides a computable expression that quantifies the truncation error for a given horizon. We show that the error satisfies ( d_H(\mathcal{E}N,\mathcal{E}\infty) \le r_W\,γ^{N+1}/(1-γ), ) where $γ<1$ is the induced-norm contraction factor and $r_W$ depends only on the disturbance set. The bound is fully analytic, requires no iterative set computations, and directly characterizes the decay rate of the truncated Minkowski series. We further demonstrate that the choice of vector norm serves as a design parameter that accelerates convergence, enabling substantially tighter horizon selection for robust invariant-set computations and tube-based MPC. Numerical experiments validate the sharpness, scalability, and practical relevance of the proposed bound.