Parametrized Topological Complexity for a Multi-Robot System with Variable Tasks

📄 arXiv: 2510.09323v1 📥 PDF

作者: Gopal Chandra Dutta, Amit Kumar Paul, Subhankar Sau

分类: math.AT, cs.RO

发布日期: 2025-10-10

备注: 25 pages. All comments are welcome

💡 一句话要点

针对多机器人变任务系统，提出参数化拓扑复杂度的运动规划方法

🎯 匹配领域: 支柱一：机器人控制 (Robot Control)

关键词: 多机器人系统 运动规划 拓扑复杂度 参数化方法 纤维化 算法不稳定性 异构任务

📋 核心要点

  1. 现有运动规划方法难以处理多机器人系统中的异构任务需求，尤其是在障碍物位置未知的情况下。
  2. 论文通过构建纤维化数学模型，利用参数化拓扑复杂度理论，分析了运动规划的算法不稳定性。
  3. 论文针对奇数和偶数维空间，提供了详细的理论分析和算法构造，为实际应用奠定基础。

📝 摘要（中文）

本文研究了一种广义运动规划问题，涉及多个自主机器人在$d$维欧几里得空间中导航，空间中存在一组先验位置未知的障碍物。每个机器人需要按顺序访问一组预定的目标状态，且不同机器人需要访问的目标数量不同。这种异构设置推广了Farber和本文第二作者先前关于序列参数化拓扑复杂性的工作框架。为了确定问题的拓扑复杂度，我们通过构建适当的纤维化在数学上对其进行公式化。我们的主要贡献是在广义设置中确定这种不变性，它捕获了在参数相关约束下设计无碰撞运动规划算法所需的最小算法不稳定性。我们为奇数和偶数维环境空间提供了详细的分析，包括必要的上同调计算和相应运动规划算法的显式构造。

🔬 方法详解

问题定义：论文旨在解决多机器人系统中，每个机器人需要按顺序访问不同数量目标点时的运动规划问题。现有方法在处理这种异构任务时，难以保证运动规划的稳定性和效率，尤其是在存在未知障碍物的情况下。传统的运动规划方法可能无法有效地处理这种参数化的任务变化，导致算法不稳定或效率低下。

核心思路：论文的核心思路是利用参数化拓扑复杂度来量化运动规划问题的内在复杂性。通过将运动规划问题形式化为纤维化结构，可以利用代数拓扑工具来研究其拓扑性质。参数化拓扑复杂度反映了在参数（例如目标点数量）变化时，运动规划算法所需的最小不稳定性。

技术框架：整体框架包括以下几个步骤：首先，将多机器人运动规划问题建模为一个纤维化结构，其中底空间表示参数空间（例如，目标点的配置），纤维表示给定参数下的运动规划空间。然后，利用代数拓扑中的上同调理论计算纤维化的拓扑复杂度。最后，基于计算得到的拓扑复杂度，设计相应的运动规划算法，并分析其稳定性和效率。

关键创新：论文的关键创新在于将参数化拓扑复杂度应用于多机器人异构任务的运动规划问题。与传统的拓扑复杂度研究不同，本文考虑了目标点数量等参数的变化，从而更准确地反映了实际应用中的复杂性。此外，论文还针对奇数和偶数维空间，给出了具体的拓扑复杂度计算方法和运动规划算法构造。

关键设计：论文的关键设计包括：1) 纤维化结构的构建方式，需要准确地反映运动规划问题的约束条件和参数依赖性；2) 上同调计算的具体方法，需要选择合适的上同调理论和计算工具；3) 运动规划算法的设计，需要保证算法的稳定性和效率，并能够处理参数的变化。具体的参数设置和损失函数等细节取决于具体的应用场景和机器人系统。

📊 实验亮点

论文的主要贡献在于确定了广义设置下的参数化拓扑复杂度，并为奇数和偶数维环境空间提供了详细的分析和算法构造。虽然摘要中没有明确给出具体的性能数据或对比基线，但该研究为设计具有最小算法不稳定性的无碰撞运动规划算法提供了理论基础。

🎯 应用场景

该研究成果可应用于仓储物流、自动驾驶、机器人编队等领域。在这些场景中，多个机器人需要协同完成不同的任务，且任务需求可能随时间变化。利用本文提出的方法，可以设计出更加稳定和高效的运动规划算法，提高系统的整体性能和可靠性。未来的研究可以进一步探索如何将该方法应用于更复杂的环境和任务。

📄 摘要（原文）

We study a generalized motion planning problem involving multiple autonomous robots navigating in a $d$-dimensional Euclidean space in the presence of a set of obstacles whose positions are unknown a priori. Each robot is required to visit sequentially a prescribed set of target states, with the number of targets varying between robots. This heterogeneous setting generalizes the framework considered in the prior works on sequential parametrized topological complexity by Farber and the second author of this article. To determine the topological complexity of our problem, we formulate it mathematically by constructing an appropriate fibration. Our main contribution is the determination of this invariant in the generalized setting, which captures the minimal algorithmic instability required for designing collision-free motion planning algorithms under parameter-dependent constraints. We provide a detailed analysis for both odd and even-dimensional ambient spaces, including the essential cohomological computations and explicit constructions of corresponding motion planning algorithms.