Control Barrier Functions via Minkowski Operations for Safe Navigation among Polytopic Sets
作者: Yi-Hsuan Chen, Shuo Liu, Wei Xiao, Calin Belta, Michael Otte
分类: cs.RO, math.OC
发布日期: 2025-04-01 (更新: 2025-09-14)
备注: 8 pages, 3 figures. Minor revision: updates to Lemma 3, Corollary 1, and Remarks 1 & 4
💡 一句话要点
提出基于闵可夫斯基运算的控制屏障函数，用于多面体环境下的安全导航。
🎯 匹配领域: 支柱四：生成式动作 (Generative Motion)
关键词: 控制屏障函数 安全导航 多面体 闵可夫斯基运算 凸优化 有符号距离函数 机器人控制
📋 核心要点
- 现有CBF方法依赖保守形状近似，导致导航策略不够灵活，难以应对复杂环境。
- 论文提出基于闵可夫斯基差运算的优化CBF，直接利用多面体间的精确有符号距离函数。
- 实验验证了该方法在非保守机动、碰撞恢复和多障碍物规避等场景下的有效性。
📝 摘要（中文）
在机器人领域，一个关键挑战是在尊重底层系统的动力学、控制和几何形状的同时，安全地绕过障碍物进行导航。控制屏障函数（CBF）通过在计算安全前向不变集时考虑系统动力学和几何形状来生成安全控制策略。现有的基于CBF的方法通常依赖于保守的形状近似，如球体或椭球体，这些形状具有显式且可微的距离函数。本文提出了一种优化定义的CBF，它直接考虑了多面体机器人和多面体障碍物之间的精确有符号距离函数（SDF）。受到Gilbert-Johnson-Keerthi（GJK）算法的启发，我们将（i）最小距离和（ii）多面体集合之间的穿透深度都表示为闵可夫斯基差运算空间（MD空间）中的凸优化问题。MD空间方便的几何特性使得可以通过可微优化来计算两个多面体之间隐式SDF的导数。我们在三个场景中演示了所提出的框架，包括纯平移、在不安全集合内部的初始化以及多障碍物规避。这三个场景分别突出了非保守机动的生成、从碰撞开始后的恢复以及通过成对CBF约束考虑多个障碍物。
🔬 方法详解
问题定义：现有基于控制屏障函数（CBF）的机器人安全导航方法，通常为了简化计算，采用球体或椭球体等保守的形状近似来表示机器人和障碍物。这种近似导致生成的控制策略过于保守，无法充分利用机器人的运动能力，尤其是在复杂环境中，可能导致无法找到可行的安全路径。因此，需要一种能够精确考虑机器人和障碍物几何形状的CBF方法。
核心思路：论文的核心思路是利用多面体之间的精确有符号距离函数（SDF）来定义CBF。为了高效计算SDF及其导数，论文将最小距离和穿透深度问题转化为闵可夫斯基差运算空间（MD空间）中的凸优化问题。MD空间的几何特性使得SDF的导数可以通过可微优化来计算，从而实现精确且可微的CBF。
技术框架：该方法主要包含以下几个阶段： 1. 多面体建模：使用多面体表示机器人和障碍物的几何形状。 2. MD空间转换：将机器人和障碍物之间的距离计算问题转换到MD空间。 3. 凸优化求解：在MD空间中，将最小距离或穿透深度计算表示为凸优化问题，并使用优化求解器求解。 4. SDF计算与微分：利用MD空间的几何特性，计算SDF及其导数。 5. CBF构建与控制：基于SDF构建CBF约束，并将其融入到控制策略中，确保机器人的安全导航。
关键创新：该方法最重要的创新点在于直接利用多面体之间的精确SDF来构建CBF，避免了保守的形状近似。通过将距离计算问题转化为MD空间中的凸优化问题，实现了SDF及其导数的高效计算。这种方法能够生成更灵活、更高效的安全导航策略。
关键设计：关键设计包括： 1. MD空间的选取：选择合适的MD空间表示，以便将距离计算问题转化为凸优化问题。 2. 凸优化问题的构建：将最小距离或穿透深度问题精确地表示为凸优化问题，并选择合适的优化求解器。 3. SDF导数的计算：利用MD空间的几何特性，推导出SDF导数的计算公式，并实现可微优化。
🖼️ 关键图片
📊 实验亮点
论文在三个场景下验证了所提出的框架：纯平移、在不安全集合内部的初始化以及多障碍物规避。实验结果表明，该方法能够生成非保守的机动策略，实现从碰撞状态的恢复，并有效地处理多个障碍物。这些实验结果验证了该方法在复杂环境下的安全导航能力。
🎯 应用场景
该研究成果可应用于各种需要安全导航的机器人系统，例如自动驾驶汽车、无人机、服务机器人等。尤其是在复杂、拥挤的环境中，精确的障碍物感知和规避能力至关重要。该方法能够提高机器人的导航效率和安全性，降低碰撞风险，具有重要的实际应用价值和广阔的应用前景。
📄 摘要（原文）
Safely navigating around obstacles while respecting the dynamics, control, and geometry of the underlying system is a key challenge in robotics. Control Barrier Functions (CBFs) generate safe control policies by considering system dynamics and geometry when calculating safe forward-invariant sets. Existing CBF-based methods often rely on conservative shape approximations, like spheres or ellipsoids, which have explicit and differentiable distance functions. In this paper, we propose an optimization-defined CBF that directly considers the exact Signed Distance Function (SDF) between a polytopic robot and polytopic obstacles. Inspired by the Gilbert-Johnson-Keerthi (GJK) algorithm, we formulate both (i) minimum distance and (ii) penetration depth between polytopic sets as convex optimization problems in the space of Minkowski difference operations (the MD-space). Convenient geometric properties of the MD-space enable the derivatives of implicit SDF between two polytopes to be computed via differentiable optimization. We demonstrate the proposed framework in three scenarios including pure translation, initialization inside an unsafe set, and multi-obstacle avoidance. These three scenarios highlight the generation of a non-conservative maneuver, a recovery after starting in collision, and the consideration of multiple obstacles via pairwise CBF constraint, respectively.