Neural Discovery of Memory and Nonlocal Kernels in Integro-Differential Equations with Constrained Kolmogorov--Arnold Networks

📄 arXiv: 2607.11110v1 📥 PDF

作者: Aruzhan Tleubek, Salah A Faroughi

分类: cs.LG, math.NA

发布日期: 2026-07-13

💡 一句话要点

提出基于可微求解器的框架以发现积分微分方程中的记忆和非局部核

🎯 匹配领域: 支柱八：物理动画 (Physics-based Animation)

关键词: 积分微分方程 非局部核 Kolmogorov–Arnold网络 可微求解器 符号回归 物理约束 核重建 机器学习

📋 核心要点

  1. 现有方法在识别积分微分方程中的记忆和非局部核时，常常依赖于特定的解析推导和限制性假设，适用性受限。
  2. 本文提出了一种基于可微求解器的框架，利用约束的Kolmogorov–Arnold网络直接从时空观测中发现核，克服了现有方法的局限。
  3. 实验结果显示，强约束的MC-KAN在二维非局部问题中相较于软约束的Cheb-KAN具有更低的核重建误差，验证了物理约束的有效性。

📝 摘要（中文）

从稀疏和噪声观测中发现支配积分微分方程（IDE）的记忆或非局部核是一个不适定的逆问题。现有识别方法通常依赖于特定问题的解析推导、专门的观测要求或对核的限制性假设，限制了其在不同IDE类别中的适用性。本文提出了一种基于可微求解器的框架，直接从时空观测中发现记忆和非局部核。该框架使用约束的Kolmogorov–Arnold网络（KAN）参数化未知核，通过两种不同的方法施加物理约束。实验结果表明，强约束的MC-KAN在稀疏和噪声的二维非局部问题中表现出更低的核重建误差，显示出物理形状约束的优势。

🔬 方法详解

问题定义：本文旨在解决从稀疏和噪声观测中识别积分微分方程中的记忆和非局部核的问题。现有方法往往依赖于特定的解析推导和限制性假设，导致其适用性受到限制。

核心思路：论文提出了一种基于可微求解器的框架，利用约束的Kolmogorov–Arnold网络（KAN）来表示未知核，直接从时空观测中进行核的发现。这种设计旨在提高核识别的灵活性和准确性。

技术框架：整体架构包括两个主要模块：首先是通过可微求解器进行核的学习，其次是通过符号回归获得可解释的闭式表示。框架中引入了两种约束方法：MC-KAN和Cheb-KAN，分别通过硬约束和软惩罚来施加物理约束。

关键创新：最重要的技术创新在于引入了约束的Kolmogorov–Arnold网络，特别是MC-KAN通过构造性地施加正性、单调递减和凸性约束，显著提高了核的重建精度。这与现有方法的软约束方式形成了鲜明对比。

关键设计：在网络结构上，MC-KAN使用Bernstein多项式来确保核的物理特性，而Cheb-KAN则通过Chebyshev多项式和软惩罚项来鼓励这些特性。损失函数设计上，考虑了核重建误差和物理约束的结合，以优化学习过程。

🖼️ 关键图片

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📊 实验亮点

实验结果表明，在一维问题中，MC-KAN和Cheb-KAN均能恢复正确的核功能形式，并实现相似的解重建精度。而在稀疏和噪声的二维非局部问题中，MC-KAN的核重建误差显著低于Cheb-KAN，验证了强约束设计的有效性。

🎯 应用场景

该研究的潜在应用领域包括物理建模、工程设计和环境科学等领域，尤其是在需要从稀疏数据中提取重要物理特征的场景中。通过提高核的识别精度，能够为复杂系统的建模和预测提供更可靠的基础，未来可能对科学研究和工程实践产生深远影响。

📄 摘要（原文）

Discovering the memory or nonlocal kernel governing an integro-differential equation (IDE) from sparse and noisy observations is an ill-posed inverse problem. Existing identification methods often rely on problem-specific analytical derivations, specialized observation requirements, or restrictive assumptions about the kernel, limiting their applicability across different classes of IDEs. In this work, we propose a differentiable-solver-based framework for discovering memory and nonlocal kernels directly from spatiotemporal observations. Within the solver, the unknown kernel is represented using a constrained Kolmogorov--Arnold Network (KAN) parameterization, with the physical constraints imposed through two different approaches: a Bernstein-polynomial-based Monotone--Convex KAN (MC-KAN), whose coefficient constraints enforce positivity, monotonic decrease, and convexity by construction, and a Chebyshev-based KAN (Cheb-KAN), in which the same properties are encouraged through soft penalty terms. After training, symbolic regression is applied to the learned kernels to obtain interpretable closed-form representations. We evaluate both methods on benchmarks spanning a one-dimensional Volterra equation, a one-dimensional viscoelastic wave partial integro-differential equation, and a two-dimensional nonlocal reaction-diffusion equation with an anisotropic coupled kernel. For the 1D problems, both methods recover the correct kernel functional form and achieve comparable solution-reconstruction accuracy. In contrast, for the sparse and noisy 2D nonlocal problem, the hard-constrained MC-KAN consistently achieves lower kernel reconstruction errors than the soft-constrained Cheb-KAN. Our results demonstrate that enforcing physically motivated shape constraints by construction provides greater robustness than soft penalties for multidimensional kernel discovery from sparse and noisy observations.