Time-Dependent PDE-Constrained Optimization via Weak-Form Latent Dynamics

📄 arXiv: 2605.20639v1 📥 PDF

作者: April Tran, Terry Haut, David Bortz, Youngsoo Choi

分类: math.OC, cs.LG, math.DS

发布日期: 2026-05-20

💡 一句话要点

提出基于弱形式潜在动力学的PDE约束优化方法，加速高维时变偏微分方程优化。

🎯 匹配领域: 支柱二：RL算法与架构 (RL & Architecture)

关键词: PDE约束优化 降阶建模 潜在空间动力学 弱形式系统辨识 时变系统 梯度优化

📋 核心要点

  1. 高维时变PDE约束优化需要重复求解正向和灵敏度问题，计算成本高昂，限制了其在多查询设计和控制中的应用。
  2. 论文提出WLaSDI方法，将高维解轨迹压缩到低维潜在空间，并通过弱形式系统辨识学习潜在动力学，避免了显式数值微分。
  3. 实验表明，该方法在热辐射传递、Vlasov-Poisson系统和Burgers方程等问题上，实现了高达五个数量级的加速，且对噪声数据具有鲁棒性。

📝 摘要（中文）

本文提出了一种弱形式潜在空间降阶建模框架，用于加速基于梯度的偏微分方程(PDE)约束优化。该方法基于弱形式潜在空间动力学辨识(WLaSDI)，将高维解轨迹压缩到低维潜在表示，并利用弱形式系统辨识来识别参数化的潜在动力学。通过避免对训练轨迹进行显式数值微分，弱形式提高了对噪声数据的鲁棒性，并为优化产生更可靠的替代动力学。本文构建了由此产生的降阶PDE约束优化问题，并推导了学习到的潜在动力学的直接灵敏度和基于伴随的梯度表达式，从而能够对设计参数进行可扩展的梯度评估。该框架在三个时变基准问题上进行了演示：用于最佳黑腔设计的热辐射传递、双流不稳定性Vlasov-Poisson系统和无粘Burgers方程。在这些例子中，WLaSDI产生了准确的最佳设计，在噪声训练数据下保持鲁棒性，并提供了显著的计算节省，相对于全阶优化，速度提高了高达五个数量级。这些结果表明，弱形式潜在动力学为复杂时变PDE系统的基于梯度的优化提供了一个高效且噪声鲁棒的替代基础。

🔬 方法详解

问题定义：论文旨在解决高维时变偏微分方程(PDE)约束优化问题。传统方法需要重复进行正向和灵敏度分析，计算成本巨大，尤其是在需要进行多次查询的设计和控制场景下，优化过程变得难以承受。现有方法对噪声数据敏感，且难以保证优化过程的稳定性和可靠性。

核心思路：论文的核心思路是将高维的PDE解轨迹压缩到低维的潜在空间中，并在该潜在空间中学习动力学模型。通过在低维空间进行优化，可以显著降低计算复杂度。此外，论文采用弱形式系统辨识方法，避免了对训练数据进行显式数值微分，从而提高了对噪声数据的鲁棒性，并得到更可靠的替代动力学模型。

技术框架：该框架主要包含以下几个阶段：1) 数据收集：通过全阶模型生成高维解轨迹数据。2) 降维：使用自编码器等方法将高维数据映射到低维潜在空间。3) 弱形式系统辨识：在潜在空间中，利用弱形式系统辨识方法学习潜在动力学模型。4) 优化：基于学习到的潜在动力学模型，构建降阶的PDE约束优化问题，并利用梯度方法进行优化。5) 结果映射：将潜在空间的优化结果映射回原始高维空间。

关键创新：该论文的关键创新在于：1) 提出了基于弱形式潜在动力学的降阶建模框架，能够有效处理高维时变PDE约束优化问题。2) 采用弱形式系统辨识方法，避免了显式数值微分，提高了对噪声数据的鲁棒性。3) 推导了学习到的潜在动力学的直接灵敏度和基于伴随的梯度表达式，实现了可扩展的梯度评估。

关键设计：在弱形式系统辨识中，使用了Galerkin方法来近似潜在动力学方程。损失函数包括两部分：一部分是潜在动力学方程的残差，另一部分是正则化项，用于防止过拟合。自编码器的网络结构可以根据具体问题进行调整，常用的结构包括卷积神经网络和循环神经网络。优化算法可以选择Adam等常用的梯度优化算法。

🖼️ 关键图片

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📊 实验亮点

实验结果表明，WLaSDI方法在三个时变基准问题上均取得了显著的性能提升。在热辐射传递问题中，WLaSDI能够产生准确的最佳设计，并且在噪声数据下保持鲁棒性。相对于全阶优化，WLaSDI方法在Vlasov-Poisson系统和Burgers方程问题中实现了高达五个数量级的加速。这些结果充分证明了WLaSDI方法在解决高维时变PDE约束优化问题方面的有效性和优越性。

🎯 应用场景

该研究成果可广泛应用于涉及高维时变PDE约束优化的领域，例如：航空航天工程中的飞行器设计优化、能源领域的核聚变反应堆设计、以及材料科学中的材料性能优化等。通过降低计算成本和提高优化效率，该方法能够加速复杂系统的设计和控制过程，具有重要的实际应用价值和潜在的未来影响。

📄 摘要（原文）

Optimization problems constrained by high-dimensional, time-dependent partial differential equations require repeated forward and sensitivity solves, making high-fidelity optimization computationally prohibitive in many-query design and control settings. We present a weak-form latent-space reduced-order modeling framework for accelerating gradient-based PDE-constrained optimization. The proposed approach builds on Weak-form Latent Space Dynamics Identification (WLaSDI), which compresses high-dimensional solution trajectories into a low-dimensional latent representation and identifies parametric latent dynamics using weak-form system identification. By avoiding explicit numerical differentiation of training trajectories, the weak-form improves robustness to noisy data and yields more reliable surrogate dynamics for optimization. We formulate the resulting reduced PDE-constrained optimization problem and derive both direct-sensitivity and adjoint-based gradient expressions for the learned latent dynamics, enabling scalable gradient evaluation with respect to design parameters. The framework is demonstrated on three time-dependent benchmark problems: thermal radiative transfer for optimal hohlraum design, the two-stream instability Vlasov-Poisson system, and the inviscid Burgers equation. Across these examples, WLaSDI produces accurate optimal designs, remains robust under noisy training data, and delivers substantial computational savings, including speedups of up to five orders of magnitude relative to full-order optimization. These results demonstrate that weak-form latent dynamics provide an efficient and noise-robust surrogate foundation for gradient-based optimization of complex time-dependent PDE systems.