Almost Sure Convergence Rates of Stochastic Approximation and Reinforcement Learning via a Poisson-Moreau Drift

📄 arXiv: 2605.07104v1 📥 PDF

作者: Xinyu Liu, Zixuan Xie, Shangtong Zhang

分类: cs.LG, math.OC, stat.ML

发布日期: 2026-05-08

💡 一句话要点

通过Poisson-Moreau漂移，提升随机逼近和强化学习的几乎必然收敛速度

🎯 匹配领域: 支柱二：RL算法与架构 (RL & Architecture)

关键词: 随机逼近 强化学习 收敛速度 马尔可夫噪声 Lyapunov漂移 Poisson方程 Moreau包络

📋 核心要点

  1. 现有随机逼近和强化学习方法在马尔可夫噪声下难以保证几乎必然收敛速度。
  2. 论文利用Poisson方程校正的Moreau包络平滑，构建Lyapunov漂移，分析收敛性。
  3. 对于幂律和调和学习率，论文提出的方法均获得了接近最优的几乎必然收敛速度。

📝 摘要（中文）

本研究针对马尔可夫噪声下的随机逼近和强化学习，旨在解决几乎必然收敛速度这一基础理论挑战。针对一类期望更新具有收缩性的随机逼近算法（常见于Q学习和线性时序差分学习等强化学习算法中），我们取得了进展。具体而言，对于幂律学习率O(n^{-η})，其中η∈(1/2, 1)，我们获得了接近o(n^{1 - 2η})的几乎必然收敛速度。对于调和学习率O(n^{-1})，我们获得了接近o(n^{-1})的几乎必然收敛速度，这是一个很强的结果，因为它接近由重对数律给出的最优速率O(n^{-1}loglog n)（针对i.i.d.噪声的特殊情况）。我们分析的关键是一种新颖的Lyapunov漂移构造，它将基于泊松方程的马尔可夫噪声校正应用于已建立的 Moreau 包络平滑，以实现收缩映射。

🔬 方法详解

问题定义：论文旨在解决在马尔可夫噪声环境下，随机逼近（Stochastic Approximation, SA）和强化学习（Reinforcement Learning, RL）算法的几乎必然收敛速度难以确定的问题。现有的方法在处理Markovian噪声时，往往难以得到令人满意的收敛速度保证，尤其是在几乎必然收敛的意义下。

核心思路：论文的核心思路是利用Poisson方程对Markovian噪声进行校正，并将其与Moreau包络平滑技术相结合，构造出一个新的Lyapunov漂移函数。通过分析该Lyapunov漂移函数的性质，从而推导出算法的几乎必然收敛速度。Poisson方程校正用于降低Markovian噪声的影响，Moreau包络平滑则利用了算法的收缩性。

技术框架：论文的技术框架主要包含以下几个部分：首先，对随机逼近算法进行建模，并假设其期望更新具有收缩性。其次，引入Poisson方程对Markovian噪声进行校正。然后，利用Moreau包络平滑技术对算法进行平滑处理。最后，构造出一个新的Lyapunov漂移函数，并通过分析该函数的性质，推导出算法的几乎必然收敛速度。

关键创新：论文最重要的技术创新点在于Lyapunov漂移函数的构造方式。传统的Lyapunov函数通常难以直接应用于分析具有Markovian噪声的随机逼近算法的收敛性。论文通过将Poisson方程校正与Moreau包络平滑相结合，构造出一个新的Lyapunov漂移函数，从而成功地克服了这一难题。与现有方法相比，该方法能够更有效地处理Markovian噪声，并获得更快的几乎必然收敛速度。

关键设计：论文的关键设计在于Poisson方程校正和Moreau包络平滑的具体实现方式，以及Lyapunov漂移函数的具体形式。Poisson方程的求解需要根据具体的Markov链进行，Moreau包络平滑的参数选择也会影响算法的收敛速度。此外，Lyapunov漂移函数的具体形式也需要根据算法的具体特点进行调整。论文针对幂律和调和学习率，分别给出了具体的参数设置和Lyapunov漂移函数形式。

📊 实验亮点

论文针对幂律学习率O(n^{-η})（η∈(1/2, 1)），获得了接近o(n^{1 - 2η})的几乎必然收敛速度；针对调和学习率O(n^{-1})，获得了接近o(n^{-1})的几乎必然收敛速度。后者接近重对数律给出的最优速率O(n^{-1}loglog n)，表明该方法在调和学习率下具有较强的收敛性能。

🎯 应用场景

该研究成果可应用于各种需要通过随机逼近进行优化的强化学习任务中，例如控制、优化和决策等领域。更快的收敛速度能够提升算法的训练效率，降低计算成本，从而推动强化学习在实际场景中的应用。例如，在机器人控制领域，可以更快地学习到最优控制策略；在金融交易领域，可以更快地优化交易策略。

📄 摘要（原文）

Establishing almost sure convergence rates for stochastic approximation and reinforcement learning under Markovian noise is a fundamental theoretical challenge. We make progress towards this challenge for a class of stochastic approximation algorithms whose expected updates are contractive, a setting that arises in many reinforcement learning algorithms such as $Q$-learning and linear temporal difference learning. Specifically, for a power-law learning rate $O(n^{-η})$ with $η\in (1/2, 1)$, we obtain an almost sure convergence rate arbitrarily close to $o(n^{1 - 2η})$. For a harmonic learning rate $O(n^{-1})$, we obtain an almost sure convergence rate arbitrarily close to $o(n^{-1})$, which we argue is a strong result because it is close to the optimal rate $O(n^{-1}\log\log n)$ given by the law of the iterated logarithm (for a special case of i.i.d. noise). Key to our analysis is a novel Lyapunov drift construction that applies a Poisson-equation based correction for Markovian noise to the well-established Moreau-envelope smoothing for the contractive mapping.