Data-driven model order reduction for structures with piecewise linear nonlinearity using dynamic mode decomposition
作者: Akira Saito, Masato Tanaka
分类: math.DS, cs.LG, nlin.CD
发布日期: 2026-03-18
期刊: Nonlinear Dynamics, 111, pp. 20597--20616 (2023)
DOI: 10.1007/s11071-023-08958-x
💡 一句话要点
提出基于动态模态分解的数据驱动降阶模型方法，用于求解分段线性非线性结构动力学问题。
🎯 匹配领域: 支柱八：物理动画 (Physics-based Animation)
关键词: 动态模态分解 降阶模型 分段线性系统 非线性动力学 数据驱动建模
📋 核心要点
- 分段线性非线性系统广泛存在，对其动态行为的预测具有重要的实际和理论意义，但传统方法计算成本高昂。
- 该论文提出一种基于动态模态分解（DMD）的数据驱动降阶模型方法，通过提取动态模态并进行Galerkin投影，降低计算复杂度。
- 通过悬臂梁和粘合板组件的实验验证，表明该方法构建的降阶模型能够准确预测系统的强迫响应，具有良好的工程应用价值。
📝 摘要（中文）
本文提出了一种基于动态模态分解（DMD）的数据驱动降阶模型方法，用于求解分段线性非线性系统。首先概述了DMD的概念，并阐述了其在基于Galerkin投影的非线性系统降阶模型中的应用。该方法利用系统的脉冲响应来获取状态变量的快照，然后使用这些快照提取动态模态，用于形成投影基向量。原始全阶系统的运动方程所描述的动力学随后被投影到由基向量张成的子空间上，从而产生自由度（DOF）数量大大减少的系统。该方法应用于两个具有代表性的分段线性系统实例：末端受弹性阻挡的悬臂梁和具有部分脱粘的粘合板组件。通过使用DMD模态单独对运动方程进行Galerkin投影，或者使用DMD模态与一组经典约束模态相结合，构建这些系统的降阶模型（ROM），以便有效地处理接触非线性。获得的ROM用于系统在谐波载荷下的非线性强迫响应分析。结果表明，该方法构建的ROM能够产生准确的强迫响应结果。
🔬 方法详解
问题定义：论文旨在解决分段线性非线性系统动态行为预测的计算成本问题。传统方法，如有限元分析，在处理复杂结构和非线性时计算量巨大，难以满足实时性要求。因此，需要一种高效的降阶模型方法，能够在保证精度的前提下显著降低计算复杂度。
核心思路：论文的核心思路是利用数据驱动的动态模态分解（DMD）技术，从系统的脉冲响应数据中提取主要的动态模态，并利用这些模态构建降阶模型。DMD能够有效地捕捉系统的动态特性，并将其表示为一组线性模态的叠加，从而简化非线性系统的分析。
技术框架：该方法主要包含以下几个步骤：1) 通过对系统施加脉冲激励，获取状态变量的快照数据；2) 利用DMD算法对快照数据进行分析，提取系统的动态模态；3) 使用提取的动态模态构建投影基向量，将原始全阶系统的运动方程投影到由这些基向量张成的低维子空间；4) 求解降阶后的运动方程，得到系统的动态响应。
关键创新：该方法的关键创新在于将DMD技术应用于分段线性非线性系统的降阶建模。与传统的基于特征向量的降阶方法相比，DMD能够直接从数据中提取动态模态，无需进行复杂的模型推导和参数辨识。此外，该方法还结合了经典约束模态，以更好地处理接触非线性。
关键设计：在具体实现中，需要选择合适的脉冲激励形式和快照数据采样频率，以保证DMD算法能够准确地提取系统的动态模态。此外，还需要根据具体的系统特性，选择合适的约束模态，以提高降阶模型的精度。对于接触非线性，可以使用罚函数法或拉格朗日乘子法进行处理。
🖼️ 关键图片
📊 实验亮点
该论文通过两个典型的分段线性系统案例（悬臂梁和粘合板组件）验证了所提出方法的有效性。实验结果表明，使用DMD模态构建的降阶模型能够准确预测系统的强迫响应，并且计算效率显著提高。通过与全阶模型进行对比，验证了降阶模型在保证精度的前提下，能够大幅度降低计算复杂度。
🎯 应用场景
该研究成果可广泛应用于航空航天、机械工程、土木工程等领域，例如飞机结构、桥梁结构、汽车零部件等包含分段线性非线性特性的结构动力学分析与优化设计。通过构建高效的降阶模型，可以实现对这些系统进行快速、准确的动态响应预测，从而提高设计效率和安全性。
📄 摘要（原文）
Piecewise-linear nonlinear systems appear in many engineering disciplines. Prediction of the dynamic behavior of such systems is of great importance from practical and theoretical viewpoint. In this paper, a data-driven model order reduction method for piecewise-linear systems is proposed, which is based on dynamic mode decomposition (DMD). The overview of the concept of DMD is provided, and its application to model order reduction for nonlinear systems based on Galerkin projection is explained. The proposed approach uses impulse responses of the system to obtain snapshots of the state variables. The snapshots are then used to extract the dynamic modes that are used to form the projection basis vectors. The dynamics described by the equations of motion of the original full-order system are then projected onto the subspace spanned by the basis vectors. This produces a system with much smaller number of degrees of freedom (DOFs). The proposed method is applied to two representative examples of piecewise linear systems: a cantilevered beam subjected to an elastic stop at its end, and a bonded plates assembly with partial debonding. The reduced order models (ROMs) of these systems are constructed by using the Galerkin projection of the equation of motion with DMD modes alone, or DMD modes with a set of classical constraint modes to be able to handle the contact nonlinearity efficiently. The obtained ROMs are used for the nonlinear forced response analysis of the systems under harmonic loading. It is shown that the ROMs constructed by the proposed method produce accurate forced response results.