On the Expressiveness of State Space Models via Temporal Logics

📄 arXiv: 2601.19467v1 📥 PDF

作者: Eric Alsmann, Lowejatan Noori, Martin Lange

分类: cs.LO, cs.FL, cs.LG

发布日期: 2026-01-27

💡 一句话要点

通过时序逻辑分析状态空间模型（SSM）的表达能力

🎯 匹配领域: 支柱二：RL算法与架构 (RL & Architecture) 支柱九：具身大模型 (Embodied Foundation Models)

关键词: 状态空间模型 时序逻辑 表达能力 形式语言理论 Transformer 门控机制 量化模型

📋 核心要点

  1. Transformer在大型语言模型中占据主导地位，但计算成本高昂，状态空间模型（SSM）作为一种潜在替代方案出现，其表达能力需要深入研究。
  2. 论文通过线性时序逻辑分析不同门控机制下的SSM表达能力，区分了量化模型和无限精度模型，揭示了它们在捕获不同类型语言方面的差异。
  3. 论文系统比较了不同SSM变体与Transformer的表达能力，明确了两种架构在表达能力方面的关系，为模型选择和设计提供了理论依据。

📝 摘要（中文）

本文研究了状态空间模型（SSM）的表达能力，SSM最近作为大型语言模型中Transformer架构的潜在替代方案而出现。基于最近的研究，我们通过有限轨迹上的线性时序逻辑的片段和扩展来分析SSM的表达能力。我们的结果表明，SSM的表达能力根据底层门控机制的不同而有很大差异。我们进一步区分了在固定宽度算术（量化模型）上运行的SSM（其表达能力仍停留在正则语言范围内）和具有无限精度的SSM（其可以捕获计数属性和非正则语言）。此外，我们提供了这些不同SSM变体与Transformer已知结果之间的系统比较，从而阐明了这两种架构在表达能力方面的关系。

🔬 方法详解

问题定义：论文旨在研究状态空间模型（SSM）的表达能力，特别是其在处理不同类型的语言和逻辑方面的能力。现有方法，如Transformer，虽然强大，但在某些序列建模任务中效率较低。SSM作为一种新兴的替代方案，其理论基础和表达能力需要更深入的理解。现有研究缺乏对不同SSM变体（例如，具有不同门控机制或量化精度的SSM）的系统性比较，以及它们与Transformer的明确关系。

核心思路：论文的核心思路是通过形式语言理论和时序逻辑来刻画SSM的表达能力。具体来说，论文使用线性时序逻辑（LTL）的片段和扩展来定义不同类型的语言，并分析SSM是否能够识别这些语言。通过这种方式，论文可以精确地量化SSM的表达能力，并比较不同SSM变体之间的差异。使用时序逻辑是因为它可以自然地表达序列数据中的时间关系，这对于理解SSM的序列建模能力至关重要。

技术框架：论文的技术框架主要包括以下几个步骤：1) 定义不同类型的状态空间模型（SSM），包括具有不同门控机制和量化精度的变体。2) 选择合适的线性时序逻辑（LTL）片段和扩展，用于定义不同类型的语言。3) 证明或反驳SSM能够识别特定LTL公式定义的语言。这通常涉及构造相应的SSM或证明其不可能存在。4) 将SSM的表达能力与Transformer的已知结果进行比较，从而建立两种架构之间的关系。

关键创新：论文的关键创新在于使用形式语言理论和时序逻辑来系统地分析和比较不同SSM变体的表达能力。以往的研究通常侧重于SSM的经验性能，而缺乏对其理论基础的深入理解。论文通过将SSM与LTL公式联系起来，提供了一种精确量化其表达能力的方法。此外，论文还区分了量化SSM和无限精度SSM，并证明了它们在表达能力上的差异。

关键设计：论文的关键设计包括：1) 选择合适的LTL片段和扩展，以捕捉不同类型的语言，例如正则语言和非正则语言。2) 针对不同的SSM变体，设计相应的证明策略，以证明或反驳其能够识别特定LTL公式定义的语言。3) 使用严格的数学证明来保证结果的正确性。论文可能还涉及一些参数设置，例如SSM的维度和门控机制的具体形式，但这些细节可能在论文中没有详细描述。

📊 实验亮点

论文的主要实验亮点在于证明了不同SSM变体在表达能力上的差异。例如，量化SSM的表达能力仅限于正则语言，而无限精度SSM可以捕获非正则语言。此外，论文还系统地比较了SSM与Transformer的表达能力，为理解这两种架构之间的关系提供了新的视角。具体的性能数据可能没有直接给出，因为论文主要关注的是理论分析而非经验评估。

🎯 应用场景

该研究成果可应用于指导状态空间模型的设计和选择，使其更适合特定的序列建模任务。例如，如果任务需要处理计数属性，则应选择具有无限精度的SSM。此外，该研究还可以帮助理解SSM与Transformer之间的关系，从而为未来的模型架构设计提供理论基础。潜在的应用领域包括自然语言处理、语音识别和时间序列分析。

📄 摘要（原文）

We investigate the expressive power of state space models (SSM), which have recently emerged as a potential alternative to transformer architectures in large language models. Building on recent work, we analyse SSM expressiveness through fragments and extensions of linear temporal logic over finite traces. Our results show that the expressive capabilities of SSM vary substantially depending on the underlying gating mechanism. We further distinguish between SSM operating over fixed-width arithmetic (quantised models), whose expressive power remains within regular languages, and SSM with unbounded precision, which can capture counting properties and non-regular languages. In addition, we provide a systematic comparison between these different SSM variants and known results on transformers, thereby clarifying how the two architectures relate in terms of expressive power.