GeoDynamics: A Geometric State-Space Neural Network for Understanding Brain Dynamics on Riemannian Manifolds

📄 arXiv: 2601.13570v1 📥 PDF

作者: Tingting Dan, Jiaqi Ding, Guorong Wu

分类: cs.LG, cs.AI

发布日期: 2026-01-20

备注: Accepted to NeurIPS 2025

💡 一句话要点

GeoDynamics：一种用于理解黎曼流形上大脑动态的几何状态空间神经网络

🎯 匹配领域: 支柱二：RL算法与架构 (RL & Architecture) 支柱八：物理动画 (Physics-based Animation)

关键词: 状态空间模型 黎曼流形 大脑动态 功能连接 几何深度学习

📋 核心要点

  1. 现有方法在处理大脑动态时，通常将大脑视为松散连接的区域或采用过于简化的网络先验，缺乏整体和自组织的动态系统视角。
  2. GeoDynamics的核心思想是将大脑功能连接表示为黎曼流形上的对称正定（SPD）矩阵，并在该流形上学习潜在状态的轨迹。
  3. 实验表明，GeoDynamics能够揭示任务驱动的状态变化以及阿尔茨海默病、帕金森病和自闭症的早期标志，并在人类动作识别任务上表现出良好的可扩展性和鲁棒性。

📝 摘要（中文）

状态空间模型（SSM）已成为揭示大脑动态的基石，它揭示了潜在的神经状态如何随时间演变并产生可观察的信号。通过将深度学习的灵活性与SSM的动态结构相结合，最近的研究在拟合功能性神经影像数据方面取得了显著成果。然而，大多数现有方法仍然将大脑视为一组松散连接的区域，或者施加过于简化的网络先验，未能形成真正整体和自组织的动态系统视角。每个时间点的大脑功能连接（FC）自然形成一个对称正定（SPD）矩阵，该矩阵位于弯曲的黎曼流形上，而不是在欧几里德空间中。捕捉这些SPD矩阵的轨迹是理解协调网络如何支持认知和行为的关键。为此，我们引入了GeoDynamics，这是一种几何状态空间神经网络，可以直接在高维SPD流形上跟踪潜在的大脑状态轨迹。GeoDynamics将每个连接矩阵嵌入到流形感知的循环框架中，学习平滑且尊重几何的转换，从而揭示任务驱动的状态变化以及阿尔茨海默病、帕金森病和自闭症的早期标志。除了神经科学之外，我们还在人类动作识别基准（UTKinect、Florence、HDM05）上验证了GeoDynamics，证明了其在建模跨不同领域的复杂时空动态方面的可扩展性和鲁棒性。

🔬 方法详解

问题定义：论文旨在解决现有状态空间模型在处理大脑动态时，未能充分考虑大脑功能连接的几何结构的问题。现有方法通常将大脑视为一组离散的区域，忽略了功能连接矩阵的对称正定（SPD）特性以及它们所处的黎曼流形结构。这导致模型无法准确捕捉大脑动态的复杂性和非线性。

核心思路：GeoDynamics的核心思路是将大脑功能连接矩阵视为黎曼流形上的点，并利用流形上的几何操作来建模这些点随时间的演变。通过在SPD流形上学习潜在状态的轨迹，GeoDynamics能够更好地捕捉大脑动态的内在结构和非线性关系。这种方法能够更准确地反映大脑作为一个整体自组织动态系统的特性。

技术框架：GeoDynamics的整体框架包括以下几个主要模块：1) 嵌入层：将原始的功能连接矩阵嵌入到SPD流形上。2) 流形感知循环层：使用循环神经网络（RNN）来建模SPD流形上的状态转移，学习平滑且尊重几何的转换。3) 解码层：将潜在状态解码回可观察的功能连接矩阵。整个框架通过端到端的方式进行训练，以最小化预测的功能连接矩阵与真实功能连接矩阵之间的差异。

关键创新：GeoDynamics的最重要的技术创新点在于它将状态空间模型与黎曼流形几何相结合，从而能够直接在SPD流形上建模大脑动态。与现有方法相比，GeoDynamics能够更好地捕捉大脑功能连接的几何结构和非线性关系，从而更准确地反映大脑的动态特性。此外，该方法具有通用性，可以应用于其他具有类似几何结构的动态系统建模。

关键设计：GeoDynamics的关键设计包括：1) 使用黎曼梯度下降法来优化模型参数，以确保参数更新始终在SPD流形上进行。2) 采用流形上的距离度量（例如，Bures-Wasserstein距离）来衡量预测的功能连接矩阵与真实功能连接矩阵之间的差异。3) 使用门控循环单元（GRU）作为流形感知循环层的基本单元，以捕捉时间依赖性。4) 通过正则化技术来防止过拟合，并提高模型的泛化能力。

🖼️ 关键图片

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📊 实验亮点

GeoDynamics在多个数据集上取得了显著的实验结果。在神经科学应用中，GeoDynamics能够有效识别阿尔茨海默病、帕金森病和自闭症的早期标志。在人类动作识别任务中（UTKinect, Florence, HDM05），GeoDynamics表现出良好的可扩展性和鲁棒性，优于现有的状态空间模型和其他基线方法。这些结果表明，GeoDynamics能够有效地捕捉复杂时空动态，并具有广泛的应用潜力。

🎯 应用场景

GeoDynamics具有广泛的应用前景。在神经科学领域，它可以用于研究大脑动态与认知功能之间的关系，以及识别神经系统疾病的早期生物标志物，例如阿尔茨海默病、帕金森病和自闭症。在其他领域，GeoDynamics可以应用于建模具有类似几何结构的动态系统，例如人类动作识别、视频分析和金融时间序列分析。该研究有助于更深入地理解复杂动态系统的内在机制，并为相关领域的应用提供新的思路。

📄 摘要（原文）

State-space models (SSMs) have become a cornerstone for unraveling brain dynamics, revealing how latent neural states evolve over time and give rise to observed signals. By combining the flexibility of deep learning with the principled dynamical structure of SSMs, recent studies have achieved powerful fits to functional neuroimaging data. However, most existing approaches still view the brain as a set of loosely connected regions or impose oversimplified network priors, falling short of a truly holistic and self-organized dynamical system perspective. Brain functional connectivity (FC) at each time point naturally forms a symmetric positive definite (SPD) matrix, which resides on a curved Riemannian manifold rather than in Euclidean space. Capturing the trajectories of these SPD matrices is key to understanding how coordinated networks support cognition and behavior. To this end, we introduce GeoDynamics, a geometric state-space neural network that tracks latent brain-state trajectories directly on the high-dimensional SPD manifold. GeoDynamics embeds each connectivity matrix into a manifold-aware recurrent framework, learning smooth and geometry-respecting transitions that reveal task-driven state changes and early markers of Alzheimer's disease, Parkinson's disease, and autism. Beyond neuroscience, we validate GeoDynamics on human action recognition benchmarks (UTKinect, Florence, HDM05), demonstrating its scalability and robustness in modeling complex spatiotemporal dynamics across diverse domains.