Latent Space Element Method

📄 arXiv: 2601.01741v1 📥 PDF

作者: Seung Whan Chung, Youngsoo Choi, Christopher Miller, H. Keo Springer, Kyle T. Sullivan

分类: math.DS, cs.LG, math.AP, math.NA

发布日期: 2026-01-05

备注: 17 pages, 10 figures

💡 一句话要点

提出潜空间单元法（LSEM），用于构建可扩展的偏微分方程代理求解器。

🎯 匹配领域: 支柱二：RL算法与架构 (RL & Architecture) 支柱九：具身大模型 (Embodied Foundation Models)

关键词: 潜空间模型 偏微分方程求解 代理模型 数据驱动方法 有限元方法 动力系统 模型组装

📋 核心要点

  1. 现有数据驱动的有限元方法（DD-FEM）需要访问PDE算子，限制了其在复杂问题中的应用。
  2. LSEM通过学习局部子域的潜变量表示，并利用学习到的交互项耦合相邻单元，避免了直接操作PDE算子。
  3. 实验表明，LSEM在1D Burgers和Korteweg-de Vries方程上，能够扩展到比训练域更大的空间域，并保持预测精度。

📝 摘要（中文）

本文提出潜空间单元法（LSEM），一种基于单元的潜变量代理组装方法，旨在构建无需侵入式访问偏微分方程算子即可在小域上训练并扩展到更大域的代理求解器。每个单元是一个LaSDI潜变量ODE代理，从局部patch上的快照训练而来。相邻单元通过潜空间中学习到的方向交互项耦合，避免了Schwarz迭代和界面残差评估。平滑的基于窗口的融合从重叠的单元预测中重建全局场，产生可扩展的组装潜变量动力系统。在1D Burgers和Korteweg-de Vries方程上的实验表明，LSEM在扩展到大于训练空间域时仍能保持预测精度。LSEM为构建基于可重用局部模型的基础模型代理求解器提供了一条可解释和可扩展的途径。

🔬 方法详解

问题定义：现有的数据驱动偏微分方程求解方法，例如数据驱动有限元方法（DD-FEM），通常需要侵入式地访问偏微分方程的算子，这限制了它们在复杂问题中的应用。此外，如何构建能够从小规模数据中学习，并泛化到更大规模问题的代理模型是一个挑战。

核心思路：LSEM的核心思想是将整个计算域分解为多个局部单元，每个单元学习一个潜变量表示，并通过学习到的单元间交互来组装全局解。这种方法避免了直接操作偏微分方程算子，并且允许模型在小规模数据上训练，然后扩展到更大的计算域。

技术框架：LSEM的整体框架包括以下几个主要步骤：1) 将计算域划分为多个重叠的单元；2) 对每个单元，使用LaSDI（Latent Space Dynamics Identification）方法训练一个潜变量ODE代理模型，该模型从局部patch上的快照中学习；3) 学习相邻单元之间的方向交互项，用于在潜空间中耦合相邻单元；4) 使用平滑的基于窗口的融合方法，从重叠的单元预测中重建全局场。

关键创新：LSEM的关键创新在于：1) 使用潜变量表示来避免直接操作偏微分方程算子；2) 通过学习单元间的交互项来实现单元间的耦合，避免了传统的Schwarz迭代和界面残差评估；3) 使用基于窗口的融合方法来平滑地重建全局场，从而实现可扩展性。

关键设计：LSEM的关键设计包括：1) LaSDI模型的选择，它能够有效地学习局部单元的动力学；2) 单元间交互项的学习方法，需要保证单元间信息的有效传递；3) 基于窗口的融合方法的选择，需要保证全局场的平滑性和准确性。具体的损失函数和网络结构等细节在论文中没有详细描述，属于未知信息。

🖼️ 关键图片

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📊 实验亮点

实验结果表明，LSEM在1D Burgers和Korteweg-de Vries方程上，能够扩展到比训练域更大的空间域，并保持预测精度。具体的性能数据和提升幅度在摘要中没有给出，属于未知信息。但论文强调LSEM在扩展性方面的优势。

🎯 应用场景

LSEM具有广泛的应用前景，例如可以用于构建复杂物理系统的代理模型，加速仿真和优化过程。它还可以应用于科学计算、工程设计等领域，例如流体动力学、热传导、结构力学等。LSEM的模块化设计使其易于扩展和定制，可以适应不同的应用场景。

📄 摘要（原文）

How can we build surrogate solvers that train on small domains but scale to larger ones without intrusive access to PDE operators? Inspired by the Data-Driven Finite Element Method (DD-FEM) framework for modular data-driven solvers, we propose the Latent Space Element Method (LSEM), an element-based latent surrogate assembly approach in which a learned subdomain ("element") model can be tiled and coupled to form a larger computational domain. Each element is a LaSDI latent ODE surrogate trained from snapshots on a local patch, and neighboring elements are coupled through learned directional interaction terms in latent space, avoiding Schwarz iterations and interface residual evaluations. A smooth window-based blending reconstructs a global field from overlapping element predictions, yielding a scalable assembled latent dynamical system. Experiments on the 1D Burgers and Korteweg-de Vries equations show that LSEM maintains predictive accuracy while scaling to spatial domains larger than those seen in training. LSEM offers an interpretable and extensible route toward foundation-model surrogate solvers built from reusable local models.