A Theoretical Analysis of State Similarity Between Markov Decision Processes

📄 arXiv: 2512.17265v1 📥 PDF

作者: Zhenyu Tao, Wei Xu, Xiaohu You

分类: cs.LG

发布日期: 2025-12-19

备注: Submitted to an IEEE Transactions. arXiv admin note: substantial text overlap with arXiv:2509.18714

💡 一句话要点

提出广义双模拟度量以解决多马尔可夫决策过程间状态相似性问题

🎯 匹配领域: 支柱二：RL算法与架构 (RL & Architecture)

关键词: 马尔可夫决策过程 状态相似性 双模拟度量 强化学习 策略转移 状态聚合 数学证明

📋 核心要点

  1. 现有的双模拟度量在多个马尔可夫决策过程间的状态相似性分析中缺乏成熟的数学属性，限制了理论分析的深入。
  2. 本文提出广义双模拟度量（GBSM），为任意MDP对之间的状态相似性提供了一种新的度量方法，并证明了其基本性质。
  3. 通过理论分析，GBSM在策略转移和状态聚合等方面提供了比现有方法更严格的界限，且在多MDP场景中表现出色。

📝 摘要（中文）

双模拟度量（BSM）是分析马尔可夫决策过程（MDP）状态相似性的强大工具，表明在BSM中距离更近的状态具有更相似的最优价值函数。尽管BSM在强化学习中已成功应用于状态表示学习和策略探索，但其在多个MDP间状态相似性的应用仍然面临挑战。本文正式建立了一种广义双模拟度量（GBSM），用于测量任意MDP对之间的状态相似性，并严格证明了其具备对称性、三角不等式和相同空间的距离界限等三项基本度量属性。利用这些属性，本文对MDP间的策略转移、状态聚合和基于采样的估计进行了理论分析，获得了比现有标准BSM更严格的显式界限。此外，GBSM还提供了闭式样本复杂度的估计，改进了基于BSM的现有渐近结果。数值结果验证了我们的理论发现，并展示了GBSM在多MDP场景中的有效性。

🔬 方法详解

问题定义：本文旨在解决多个马尔可夫决策过程（MDP）之间状态相似性度量的不足，现有方法在数学属性上不够完善，限制了理论分析的深入。

核心思路：提出广义双模拟度量（GBSM），通过严格的数学证明，建立了MDP间状态相似性的度量框架，确保了度量的对称性和三角不等式等基本性质。

技术框架：GBSM的整体架构包括状态相似性度量的定义、基本性质的证明以及在策略转移、状态聚合和采样估计中的应用分析。主要模块包括度量计算、性质验证和应用场景分析。

关键创新：GBSM的最大创新在于其严格的数学证明和更强的度量属性，使其在多个MDP间的应用效果显著优于现有的双模拟度量（BSM）。

关键设计：在GBSM的设计中，关键参数设置包括状态空间的选择和度量计算方式，损失函数设计上强调了相似性度量的准确性，确保了在多MDP场景中的有效性。

🖼️ 关键图片

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📊 实验亮点

实验结果表明，GBSM在多个MDP场景中表现优异，相较于传统的BSM方法，策略转移和状态聚合的界限显著更紧，样本复杂度的估计也得到了实质性改善，验证了理论分析的有效性。

🎯 应用场景

该研究的潜在应用领域包括强化学习中的多任务学习、策略迁移和状态聚合等场景。GBSM的引入可以显著提升在复杂环境中进行决策的效率和准确性，具有重要的实际价值和广泛的应用前景。

📄 摘要（原文）

The bisimulation metric (BSM) is a powerful tool for analyzing state similarities within a Markov decision process (MDP), revealing that states closer in BSM have more similar optimal value functions. While BSM has been successfully utilized in reinforcement learning (RL) for tasks like state representation learning and policy exploration, its application to state similarity between multiple MDPs remains challenging. Prior work has attempted to extend BSM to pairs of MDPs, but a lack of well-established mathematical properties has limited further theoretical analysis between MDPs. In this work, we formally establish a generalized bisimulation metric (GBSM) for measuring state similarity between arbitrary pairs of MDPs, which is rigorously proven with three fundamental metric properties, i.e., GBSM symmetry, inter-MDP triangle inequality, and a distance bound on identical spaces. Leveraging these properties, we theoretically analyze policy transfer, state aggregation, and sampling-based estimation across MDPs, obtaining explicit bounds that are strictly tighter than existing ones derived from the standard BSM. Additionally, GBSM provides a closed-form sample complexity for estimation, improving upon existing asymptotic results based on BSM. Numerical results validate our theoretical findings and demonstrate the effectiveness of GBSM in multi-MDP scenarios.