DeepVekua: Geometric-Spectral Representation Learning for Physics-Informed Fields

📄 arXiv: 2512.12402v1 📥 PDF

作者: Vladimer Khasia

分类: cs.LG

发布日期: 2025-12-13

DOI: 10.5281/zenodo.17918695

🔗 代码/项目: GITHUB

💡 一句话要点

DeepVekua：结合几何深度学习与谱分析求解稀疏数据下的偏微分方程

🎯 匹配领域: 支柱二：RL算法与架构 (RL & Architecture) 支柱三：空间感知与语义 (Perception & Semantics)

关键词: 几何深度学习 谱分析 偏微分方程 稀疏数据 隐式表示

📋 核心要点

  1. 现有基于坐标的神经网络在求解偏微分方程时存在谱偏差问题，难以有效学习复杂几何形状。
  2. DeepVekua通过学习坐标变换将复杂几何映射到调和空间，分离了几何学习和物理学习，从而克服了谱偏差。
  3. 实验表明，DeepVekua在对流-扩散系统上显著优于现有隐式表示方法，性能提升高达100倍。

📝 摘要（中文）

本文提出DeepVekua，一种混合架构，它将几何深度学习与谱分析相结合，以解决稀疏数据环境下的偏微分方程（PDE）。通过学习一个微分同胚坐标变换，将复杂的几何形状映射到潜在的调和空间，我们的方法在对流-扩散系统上优于最先进的隐式表示方法。与在谱偏差中挣扎的标准基于坐标的网络不同，DeepVekua将几何学习与物理学习分离，以闭合形式求解最佳谱权重。我们展示了比谱基线方法高100倍的性能提升。代码可在https://github.com/VladimerKhasia/vekuanet 获取。

🔬 方法详解

问题定义：论文旨在解决在稀疏数据条件下，利用神经网络求解偏微分方程（PDE）的问题。现有方法，特别是基于坐标的神经网络，在处理复杂几何形状时，由于谱偏差（spectral bias）问题，难以有效学习到精确的解。这些方法通常难以捕捉高频信息，导致求解精度下降。

核心思路：DeepVekua的核心思路是将几何学习与物理学习解耦。它首先学习一个微分同胚坐标变换，将原始的复杂几何空间映射到一个潜在的调和空间（latent harmonic space）。在这个调和空间中，偏微分方程的解更容易用谱方法表示和学习。通过这种方式，网络可以专注于学习物理规律，而无需直接处理复杂的几何形状。

技术框架：DeepVekua的整体架构包含以下几个主要模块：1) 几何编码器：学习从原始坐标到调和空间的微分同胚映射。2) 谱求解器：在调和空间中，利用谱方法求解偏微分方程，得到谱权重。3) 解码器：将调和空间中的解映射回原始坐标空间。整个流程可以看作是先通过几何编码器将问题转换到一个更易于求解的空间，然后在该空间中求解，最后通过解码器将解转换回原始空间。

关键创新：DeepVekua最重要的技术创新点在于将几何深度学习与谱分析相结合，通过学习坐标变换来解耦几何与物理的学习。与传统的基于坐标的神经网络相比，DeepVekua能够更好地处理复杂几何形状，并克服谱偏差问题。此外，通过在调和空间中求解谱权重，可以更有效地利用稀疏数据。

关键设计：几何编码器通常采用神经网络结构，例如MLP，用于学习坐标变换。谱求解器利用傅里叶级数等谱方法在调和空间中表示解，并通过最小化残差损失函数来优化谱权重。解码器则将调和空间中的解映射回原始空间。损失函数通常包括偏微分方程的残差项以及边界条件约束项。

🖼️ 关键图片

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📊 实验亮点

DeepVekua在对流-扩散系统上的实验结果表明，其性能显著优于现有的隐式表示方法。具体而言，DeepVekua实现了比谱基线方法高100倍的性能提升。这表明DeepVekua能够有效地克服谱偏差问题，并在稀疏数据条件下学习到精确的偏微分方程解。实验结果充分验证了DeepVekua的有效性和优越性。

🎯 应用场景

DeepVekua在科学计算领域具有广泛的应用前景，例如流体动力学、热传导、电磁学等。它可以用于模拟和预测各种物理现象，尤其是在数据稀疏或几何形状复杂的场景下。该方法还可以应用于工程设计、材料科学等领域，加速产品研发和优化过程。未来，DeepVekua有望成为一种通用的偏微分方程求解工具，推动科学研究和工程应用的发展。

📄 摘要（原文）

We present DeepVekua, a hybrid architecture that unifies geometric deep learning with spectral analysis to solve partial differential equations (PDEs) in sparse data regimes. By learning a diffeomorphic coordinate transformation that maps complex geometries to a latent harmonic space, our method outperforms state-of-the-art implicit representations on advection-diffusion systems. Unlike standard coordinate-based networks which struggle with spectral bias, DeepVekua separates the learning of geometry from the learning of physics, solving for optimal spectral weights in closed form. We demonstrate a 100x improvement over spectral baselines. The code is available at https://github.com/VladimerKhasia/vekuanet.