Lag Operator SSMs: A Geometric Framework for Structured State Space Modeling

📄 arXiv: 2512.18965v1 📥 PDF

作者: Sutashu Tomonaga, Kenji Doya, Noboru Murata

分类: cs.LG

发布日期: 2025-12-22

💡 一句话要点

提出基于Lag算子的结构化状态空间建模几何框架，简化SSM设计。

🎯 匹配领域: 支柱二：RL算法与架构 (RL & Architecture)

关键词: 结构化状态空间模型 序列建模 Lag算子 HiPPO模型 几何框架

📋 核心要点

  1. 现有SSM理论基础依赖于复杂的连续时间建模和离散化过程，缺乏直观性。
  2. 提出基于Lag算子的几何框架，直接构建离散时间SSM，实现灵活模块化设计。
  3. 实验验证了该框架能够精确恢复HiPPO模型，并为序列模型设计提供新工具。

📝 摘要（中文）

结构化状态空间模型(SSMs)是当前流行的Mamba架构的核心，是强大的序列建模工具。然而，它们的理论基础依赖于一个复杂的多阶段过程，包括连续时间建模和随后的离散化，这可能会模糊直觉。本文介绍了一个直接的、第一性原理的框架，用于构建离散时间SSM，该框架既灵活又模块化。我们的方法基于一种新颖的Lag算子，它通过几何方式推导出离散时间递推关系，通过测量系统的基函数如何“滑动”以及从一个时间步长到下一个时间步长的变化。由此产生的状态矩阵通过涉及该算子的单个内积计算，为通过灵活地组合不同的基函数和时间扭曲方案来创建新的SSM提供了一个模块化的设计空间。为了验证我们的方法，我们证明了一个特定的实例可以完全恢复有影响力的HiPPO模型的递推关系。数值模拟证实了我们的推导，为设计灵活而鲁棒的序列模型提供了新的理论工具。

🔬 方法详解

问题定义：现有结构化状态空间模型（SSMs）的理论基础复杂，涉及连续时间建模和离散化等多个阶段，导致模型设计和理解上的困难。现有方法缺乏直观性和灵活性，难以快速构建和调整SSM。

核心思路：本文的核心思路是引入一种新颖的Lag算子，通过几何方式直接推导离散时间递推关系。Lag算子衡量了系统基函数在时间步进中的“滑动”和变化，从而避免了复杂的连续时间建模过程。这种方法将SSM的构建简化为一个内积计算，提高了设计的模块化和灵活性。

技术框架：该框架的核心是Lag算子，它作用于系统的基函数，描述了基函数在离散时间步进中的变化。通过计算Lag算子与基函数的内积，可以得到离散时间状态转移矩阵。整个框架包括以下步骤：1) 选择合适的基函数；2) 定义Lag算子；3) 计算状态转移矩阵；4) 构建离散时间SSM。

关键创新：最重要的技术创新点在于Lag算子的引入，它提供了一种直接从离散时间角度构建SSM的几何方法。与现有方法相比，该方法避免了连续时间建模和离散化过程，简化了模型设计，并提高了灵活性和可解释性。Lag算子将SSM的构建转化为一个内积计算，使得可以方便地组合不同的基函数和时间扭曲方案。

关键设计：关键设计包括Lag算子的具体形式和基函数的选择。Lag算子的形式决定了时间步进的方式，基函数的选择则影响了模型的表达能力。论文中通过选择特定的基函数和Lag算子，成功地恢复了HiPPO模型的递推关系。此外，时间扭曲方案也是一个重要的设计参数，可以用于调整模型对不同时间尺度的敏感度。

🖼️ 关键图片

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📊 实验亮点

论文通过数值模拟验证了所提出的Lag算子框架的有效性。一个关键的实验结果是，通过选择特定的基函数和Lag算子，该框架能够精确地恢复有影响力的HiPPO模型的递推关系。这表明该框架具有很强的理论基础和实际应用潜力。数值模拟结果进一步证实了该框架在序列建模任务中的性能。

🎯 应用场景

该研究成果可应用于序列建模的各个领域，例如自然语言处理、语音识别、时间序列预测等。通过灵活组合不同的基函数和时间扭曲方案，可以构建适用于特定任务的定制化SSM。该框架的模块化设计也有助于加速SSM的开发和部署，并为未来的序列模型研究提供新的思路。

📄 摘要（原文）

Structured State Space Models (SSMs), which are at the heart of the recently popular Mamba architecture, are powerful tools for sequence modeling. However, their theoretical foundation relies on a complex, multi-stage process of continuous-time modeling and subsequent discretization, which can obscure intuition. We introduce a direct, first-principles framework for constructing discrete-time SSMs that is both flexible and modular. Our approach is based on a novel lag operator, which geometrically derives the discrete-time recurrence by measuring how the system's basis functions "slide" and change from one timestep to the next. The resulting state matrices are computed via a single inner product involving this operator, offering a modular design space for creating novel SSMs by flexibly combining different basis functions and time-warping schemes. To validate our approach, we demonstrate that a specific instance exactly recovers the recurrence of the influential HiPPO model. Numerical simulations confirm our derivation, providing new theoretical tools for designing flexible and robust sequence models.