First-order Sobolev Reinforcement Learning

📄 arXiv: 2511.19165v1 📥 PDF

作者: Fabian Schramm, Nicolas Perrin-Gilbert, Justin Carpentier

分类: cs.LG, cs.RO

发布日期: 2025-11-24

备注: Workshop paper at Differentiable Systems and Scientific Machine Learning, EurIPS 2025

💡 一句话要点

提出一阶Sobolev强化学习，通过梯度一致性加速critic收敛并稳定策略梯度。

🎯 匹配领域: 支柱二：RL算法与架构 (RL & Architecture)

关键词: 强化学习 时序差分学习 贝尔曼方程 梯度一致性 Sobolev空间

📋 核心要点

  1. 传统强化学习方法在价值函数学习中收敛速度慢，策略梯度不稳定，影响整体性能。
  2. 论文提出一阶Sobolev强化学习，通过匹配贝尔曼目标的价值和导数，实现一阶贝尔曼一致性。
  3. 该方法可集成到现有算法中，加速critic收敛，稳定策略梯度，且不改变算法整体结构。

📝 摘要（中文）

本文提出了一种时序差分学习的改进方法，该方法强制执行一阶贝尔曼一致性：学习到的价值函数不仅在价值上与贝尔曼目标匹配，而且在关于状态和动作的导数上也与之匹配。通过可微动力学对贝尔曼备份进行微分，我们获得了分析上一致的梯度目标。将这些梯度目标使用Sobolev型损失函数整合到critic目标中，鼓励critic与目标函数的价值和局部几何结构对齐。这种一阶TD匹配原则可以无缝集成到现有的算法中，例如Q-learning或actor-critic方法（例如，DDPG，SAC），可能导致更快的critic收敛和更稳定的策略梯度，而不会改变它们的整体结构。

🔬 方法详解

问题定义：强化学习中，价值函数的准确估计至关重要，但现有方法，如时序差分学习，通常只关注价值的匹配，忽略了价值函数局部几何结构的信息。这导致critic学习缓慢，策略梯度估计方差大，训练不稳定。

核心思路：论文的核心思路是强制一阶贝尔曼一致性，即不仅要求学习到的价值函数与贝尔曼目标在价值上匹配，还要求它们的导数（关于状态和动作）也匹配。通过引入梯度信息，可以更好地约束价值函数的学习，使其更准确、更稳定。

技术框架：整体框架是在现有的强化学习算法（如DDPG、SAC）的critic学习过程中，增加一个Sobolev型损失函数。该损失函数不仅包含价值的误差项，还包含价值函数梯度与贝尔曼目标梯度之间的误差项。贝尔曼目标梯度通过可微动力学计算得到。因此，critic的训练目标是最小化价值误差和梯度误差的加权和。

关键创新：最重要的创新点在于将一阶导数信息引入到价值函数的学习中，从而实现了对贝尔曼方程更强的约束。与传统方法只关注价值匹配不同，该方法同时关注价值和梯度的匹配，使得学习到的价值函数更加准确，策略梯度更加稳定。

关键设计：关键设计包括：1) 使用可微动力学计算贝尔曼目标梯度；2) 使用Sobolev型损失函数，平衡价值误差和梯度误差；3) 损失函数中价值误差和梯度误差的权重需要仔细调整，以获得最佳性能。具体的网络结构与原算法保持一致，无需修改。

📊 实验亮点

论文提出的方法可以无缝集成到现有的强化学习算法中，例如DDPG和SAC。实验结果表明，该方法能够显著提高critic的收敛速度，并降低策略梯度的方差，从而提高整体性能。具体的性能提升数据未知，需要在论文中查找。

🎯 应用场景

该研究成果可广泛应用于机器人控制、自动驾驶、游戏AI等领域。通过提高强化学习算法的训练效率和稳定性，可以更快地训练出高性能的智能体，解决实际应用中面临的复杂控制问题。例如，可以应用于训练更安全、更高效的自动驾驶系统，或训练更智能的机器人完成复杂的操作任务。

📄 摘要（原文）

We propose a refinement of temporal-difference learning that enforces first-order Bellman consistency: the learned value function is trained to match not only the Bellman targets in value but also their derivatives with respect to states and actions. By differentiating the Bellman backup through differentiable dynamics, we obtain analytically consistent gradient targets. Incorporating these into the critic objective using a Sobolev-type loss encourages the critic to align with both the value and local geometry of the target function. This first-order TD matching principle can be seamlessly integrated into existing algorithms, such as Q-learning or actor-critic methods (e.g., DDPG, SAC), potentially leading to faster critic convergence and more stable policy gradients without altering their overall structure.