Extensions of Robbins-Siegmund Theorem with Applications in Reinforcement Learning

📄 arXiv: 2509.26442v1 📥 PDF

作者: Xinyu Liu, Zixuan Xie, Shangtong Zhang

分类: cs.LG, math.OC

发布日期: 2025-09-30

💡 一句话要点

扩展Robbins-Siegmund定理，解决强化学习中非可和零阶项收敛性问题

🎯 匹配领域: 支柱二：RL算法与架构 (RL & Architecture)

关键词: Robbins-Siegmund定理 强化学习 随机逼近 收敛性分析 Q-learning

📋 核心要点

  1. 现有Robbins-Siegmund定理要求零阶项可和，限制了其在强化学习中的应用，许多实际问题不满足此条件。
  2. 论文扩展了Robbins-Siegmund定理，允许零阶项平方可和，并对随机过程增量提出了新的温和假设。
  3. 新定理为线性函数逼近Q-learning提供了首个几乎必然收敛速度、高概率集中界和$L^p$收敛速度。

📝 摘要（中文）

Robbins-Siegmund定理是分析随机逼近和强化学习中广泛使用的随机迭代算法收敛性的基础。然而，其原始形式存在一个重要限制，即要求零阶项是可和的。在许多重要的强化学习应用中，这个可和条件无法满足。因此，本文扩展了Robbins-Siegmund定理，使其适用于零阶项非可和但平方可和的几乎超鞅。特别地，我们对随机过程的增量引入了一个新的、温和的假设。这个假设与平方可和条件一起，实现了几乎必然收敛到一个有界集合。此外，我们进一步提供了几乎必然收敛速度、高概率集中界和$L^p$收敛速度。然后，我们将新的结果应用于随机逼近和强化学习。值得注意的是，我们获得了线性函数逼近Q-learning的第一个几乎必然收敛速度、第一个高概率集中界和第一个$L^p$收敛速度。

🔬 方法详解

问题定义：Robbins-Siegmund定理是分析随机迭代算法收敛性的重要工具，但在强化学习中，许多算法的零阶项不满足原始定理要求的可和性条件，导致无法直接应用该定理分析其收敛性。现有方法缺乏对这类问题的有效分析工具。

核心思路：论文的核心思路是放宽Robbins-Siegmund定理对零阶项的要求，允许其仅满足平方可和性。为了保证收敛性，论文引入了对随机过程增量的新的、更温和的假设。通过这种方式，扩展后的定理可以应用于更广泛的强化学习算法。

技术框架：论文首先对Robbins-Siegmund定理进行了理论扩展，证明了在零阶项平方可和以及满足新的增量假设下，随机过程几乎必然收敛到一个有界集合。然后，论文推导了收敛速度、高概率集中界和$L^p$收敛速度。最后，将扩展后的定理应用于分析线性函数逼近Q-learning的收敛性。

关键创新：论文最重要的创新在于对Robbins-Siegmund定理的扩展，通过放宽对零阶项的要求并引入新的增量假设，使其能够分析零阶项平方可和的随机过程的收敛性。这与现有方法依赖于零阶项可和性有本质区别。

关键设计：论文的关键设计包括：1) 对随机过程增量的新假设，该假设需要根据具体应用场景进行验证；2) 基于扩展的Robbins-Siegmund定理，推导收敛速度、高概率集中界和$L^p$收敛速度的具体公式；3) 将扩展的定理应用于线性函数逼近Q-learning，并验证其满足定理的条件。

📊 实验亮点

论文最重要的实验亮点是为线性函数逼近Q-learning提供了首个几乎必然收敛速度、高概率集中界和$L^p$收敛速度。这些结果填补了该领域的一个空白，为理解和改进线性函数逼近Q-learning算法提供了重要的理论基础。具体性能数据和对比基线未在摘要中提及，属于未知信息。

🎯 应用场景

该研究成果可广泛应用于强化学习和随机逼近领域，特别是对于那些零阶项不满足可和性条件的算法。例如，可以用于分析具有非线性函数逼近的强化学习算法的收敛性，或者用于设计具有更复杂更新规则的随机优化算法。该研究为分析和改进这些算法提供了新的理论工具。

📄 摘要（原文）

The Robbins-Siegmund theorem establishes the convergence of stochastic processes that are almost supermartingales and is foundational for analyzing a wide range of stochastic iterative algorithms in stochastic approximation and reinforcement learning (RL). However, its original form has a significant limitation as it requires the zero-order term to be summable. In many important RL applications, this summable condition, however, cannot be met. This limitation motivates us to extend the Robbins-Siegmund theorem for almost supermartingales where the zero-order term is not summable but only square summable. Particularly, we introduce a novel and mild assumption on the increments of the stochastic processes. This together with the square summable condition enables an almost sure convergence to a bounded set. Additionally, we further provide almost sure convergence rates, high probability concentration bounds, and $L^p$ convergence rates. We then apply the new results in stochastic approximation and RL. Notably, we obtain the first almost sure convergence rate, the first high probability concentration bound, and the first $L^p$ convergence rate for $Q$-learning with linear function approximation.