GeoFunFlow: Geometric Function Flow Matching for Inverse Operator Learning over Complex Geometries

📄 arXiv: 2509.24117v1 📥 PDF

作者: Sifan Wang, Zhikai Wu, David van Dijk, Lu Lu

分类: cs.LG, physics.comp-ph, stat.ML

发布日期: 2025-09-28

备注: 26 pages, 13 figures, 9 tables

💡 一句话要点

提出GeoFunFlow以解决复杂几何体上的逆问题

🎯 匹配领域: 支柱二：RL算法与架构 (RL & Architecture)

关键词: 逆问题 偏微分方程 几何函数自编码器 潜在扩散模型 不确定性量化 复杂几何体 机器学习 科学计算

📋 核心要点

  1. 现有方法在处理复杂几何体的逆问题时面临病态性和数据稀疏性等挑战，计算成本高且效率低下。
  2. GeoFunFlow通过引入几何函数自编码器和潜在扩散模型，提供了一种新的解决方案，能够有效处理复杂几何体的逆问题。
  3. 在五个基准测试中，GeoFunFlow在重构精度上达到了最先进水平，并且在不确定性量化和推理效率上表现优异。

📝 摘要（中文）

逆问题是科学与工程中的重要课题，尤其在偏微分方程（PDEs）控制下，因其病态性、数据稀疏性及不规则几何体的复杂性而面临挑战。传统的PDE约束优化方法计算开销大，尤其在需要重复后验采样时。尽管基于学习的方法提高了效率和可扩展性，但大多数方法仅适用于规则域或专注于正向建模。本文提出了GeoFunFlow，一个用于复杂几何体逆问题的几何扩散模型框架，结合了新颖的几何函数自编码器（GeoFAE）和通过修正流训练的潜在扩散模型。GeoFAE利用Perceiver模块处理不同大小的非结构化网格，并生成物理场的连续重构，而扩散模型则支持从稀疏和噪声数据中进行后验采样。实验表明，GeoFunFlow在复杂几何体上实现了最先进的重构精度，提供了校准的不确定性量化，并在推理效率上优于操作学习和扩散模型基线。

🔬 方法详解

问题定义：本文旨在解决由偏微分方程（PDEs）控制的逆问题，尤其是在复杂几何体下的重构问题。现有方法在处理不规则几何体时常常面临病态性和数据稀疏性，导致计算成本高且效率低下。

核心思路：GeoFunFlow的核心思路是结合几何函数自编码器（GeoFAE）和潜在扩散模型，利用几何扩散模型框架来处理复杂几何体的逆问题。GeoFAE通过Perceiver模块处理不同大小的非结构化网格，生成物理场的连续重构，同时扩散模型支持从稀疏和噪声数据中进行后验采样。

技术框架：GeoFunFlow的整体架构包括两个主要模块：几何函数自编码器（GeoFAE）和潜在扩散模型。GeoFAE负责处理输入的非结构化网格数据，并生成物理场的重构，而潜在扩散模型则用于从稀疏数据中进行后验采样。

关键创新：GeoFunFlow的关键创新在于其几何函数自编码器的设计，能够有效处理不规则几何体的输入数据，并通过潜在扩散模型实现高效的后验采样。这与传统方法相比，显著提高了在复杂几何体上的重构精度和效率。

关键设计：在设计上，GeoFAE采用了Perceiver模块以适应不同大小的网格，损失函数则结合了重构误差和不确定性量化。此外，潜在扩散模型的训练采用了修正流方法，以提高采样的质量和效率。

🖼️ 关键图片

fig_0
fig_1
fig_2

📊 实验亮点

在五个基准测试中，GeoFunFlow在复杂几何体上的重构精度达到了最先进水平，超越了现有的操作学习和扩散模型基线，提供了校准的不确定性量化，并在推理效率上显著提升。

🎯 应用场景

GeoFunFlow的研究成果在科学与工程领域具有广泛的应用潜力，尤其是在需要解决复杂几何体逆问题的场景中，如流体动力学、材料科学和医学成像等。其高效的推理能力和准确的重构结果将推动相关领域的研究与应用发展。

📄 摘要（原文）

Inverse problems governed by partial differential equations (PDEs) are crucial in science and engineering. They are particularly challenging due to ill-posedness, data sparsity, and the added complexity of irregular geometries. Classical PDE-constrained optimization methods are computationally expensive, especially when repeated posterior sampling is required. Learning-based approaches improve efficiency and scalability, yet most are designed for regular domains or focus on forward modeling. Here, we introduce {\em GeoFunFlow}, a geometric diffusion model framework for inverse problems on complex geometries. GeoFunFlow combines a novel geometric function autoencoder (GeoFAE) and a latent diffusion model trained via rectified flow. GeoFAE employs a Perceiver module to process unstructured meshes of varying sizes and produces continuous reconstructions of physical fields, while the diffusion model enables posterior sampling from sparse and noisy data. Across five benchmarks, GeoFunFlow achieves state-of-the-art reconstruction accuracy over complex geometries, provides calibrated uncertainty quantification, and delivers efficient inference compared to operator-learning and diffusion model baselines.