Probabilistic operator learning: generative modeling and uncertainty quantification for foundation models of differential equations

📄 arXiv: 2509.05186v2 📥 PDF

作者: Benjamin J. Zhang, Siting Liu, Stanley J. Osher, Markos A. Katsoulakis

分类: stat.ML, cs.LG, math.NA

发布日期: 2025-09-05 (更新: 2025-09-08)

备注: First two authors contributed equally

💡 一句话要点

提出GenICON，通过生成建模和不确定性量化提升微分方程基础模型的泛化能力。

🎯 匹配领域: 支柱九：具身大模型 (Embodied Foundation Models)

关键词: 算子学习 生成模型 不确定性量化 微分方程 贝叶斯推断

📋 核心要点

  1. 现有算子学习方法缺乏对解算子不确定性的有效建模，限制了其在实际问题中的可靠性。
  2. 论文提出GenICON，通过概率生成模型对解算子的后验分布进行采样，从而捕获不确定性。
  3. GenICON能够进行有原则的不确定性量化，提升了解预测的可靠性，并为算子学习提供了新的视角。

📝 摘要（中文）

本文提出了一个概率框架，揭示了上下文算子网络(ICON)隐式地执行贝叶斯推断，计算给定上下文（即条件-解示例对）下解算子后验预测分布的均值。随机微分方程的形式为描述ICON所完成的任务提供了一个概率框架，同时也为理解其他多算子学习方法提供了基础。这种概率视角为将ICON扩展到生成设置提供了基础，在生成设置中，可以从解算子的后验预测分布中进行采样。ICON的生成公式(GenICON)捕获了解算子中潜在的不确定性，从而能够在算子学习的解预测中进行有原则的不确定性量化。

🔬 方法详解

问题定义：现有的算子学习方法，例如ICON，虽然能够学习微分方程的解算子，但缺乏对解算子不确定性的建模能力。这意味着模型无法评估其预测的可靠性，限制了其在对精度要求高的实际问题中的应用。

核心思路：论文的核心思路是将ICON视为隐式地执行贝叶斯推断的过程，并在此基础上构建一个生成模型(GenICON)。通过对解算子的后验预测分布进行采样，GenICON能够捕获解算子中的不确定性，并进行有原则的不确定性量化。

技术框架：GenICON的技术框架基于随机微分方程，将ICON视为计算解算子后验预测分布均值的过程。GenICON通过生成模型对该后验分布进行采样，从而获得多个可能的解算子。这些解算子可以用于预测微分方程的解，并评估预测结果的不确定性。整体流程包括：1) 使用ICON学习解算子的均值；2) 构建生成模型对解算子的后验分布进行采样；3) 使用采样的解算子进行预测并量化不确定性。

关键创新：GenICON的关键创新在于将确定性的算子学习方法ICON扩展到生成模型，从而能够捕获解算子的不确定性。这种概率视角为理解和改进算子学习方法提供了新的思路，并为解决实际问题提供了更可靠的工具。与现有方法的本质区别在于，GenICON不仅能预测解，还能评估预测的可靠性。

关键设计：GenICON的关键设计包括：1) 使用随机微分方程来描述解算子的后验分布；2) 设计合适的生成模型（例如变分自编码器）来对该分布进行采样；3) 定义合适的损失函数来训练生成模型，例如最大化后验概率或最小化KL散度。

🖼️ 关键图片

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📊 实验亮点

论文通过实验验证了GenICON在多个微分方程求解问题上的有效性。实验结果表明，GenICON能够准确地预测微分方程的解，并有效地量化预测结果的不确定性。与传统的确定性算子学习方法相比，GenICON能够提供更可靠的预测结果，并为决策者提供更全面的信息。

🎯 应用场景

GenICON在科学计算、工程设计和风险评估等领域具有广泛的应用前景。例如，在气候模型中，GenICON可以用于量化气候预测的不确定性，从而为决策者提供更可靠的信息。在工程设计中，GenICON可以用于评估结构在不同载荷条件下的可靠性，从而优化设计方案。在金融风险评估中，GenICON可以用于量化市场风险，从而制定更有效的风险管理策略。

📄 摘要（原文）

In-context operator networks (ICON) are a class of operator learning methods based on the novel architectures of foundation models. Trained on a diverse set of datasets of initial and boundary conditions paired with corresponding solutions to ordinary and partial differential equations (ODEs and PDEs), ICON learns to map example condition-solution pairs of a given differential equation to an approximation of its solution operator. Here, we present a probabilistic framework that reveals ICON as implicitly performing Bayesian inference, where it computes the mean of the posterior predictive distribution over solution operators conditioned on the provided context, i.e., example condition-solution pairs. The formalism of random differential equations provides the probabilistic framework for describing the tasks ICON accomplishes while also providing a basis for understanding other multi-operator learning methods. This probabilistic perspective provides a basis for extending ICON to \emph{generative} settings, where one can sample from the posterior predictive distribution of solution operators. The generative formulation of ICON (GenICON) captures the underlying uncertainty in the solution operator, which enables principled uncertainty quantification in the solution predictions in operator learning.