AI paradigm for solving differential equations: first-principles data generation and scale-dilation operator AI solver

📄 arXiv: 2507.23141v1 📥 PDF

作者: Xiangshu Gong, Zhiqiang Xie, Xiaowei Jin, Chen Wang, Yanling Qu, Wangmeng Zuo, Hui Li

分类: cs.LG, physics.comp-ph

发布日期: 2025-07-30

💡 一句话要点

提出基于第一性原理数据生成和尺度扩张算子的AI求解器，解决微分方程求解问题。

🎯 匹配领域: 支柱八：物理动画 (Physics-based Animation)

关键词: 微分方程求解 人工智能 第一性原理 尺度扩张算子 Transformer 高频分量 数据生成

📋 核心要点

  1. 现有AI求解器在求解微分方程时，面临数据稀缺和难以逼近高频分量的挑战。
  2. 论文提出一种新的AI范式，通过第一性原理生成数据，并引入尺度扩张算子（SDO）来解决高频分量逼近问题。
  3. 实验结果表明，该方法在求解各种微分方程时，精度始终优于现有最先进的方法。

📝 摘要（中文）

许多问题都由微分方程（DEs）控制。人工智能（AI）是求解DEs的新途径。然而，数据非常稀缺，现有的AI求解器难以逼近高频分量（AHFC）。我们提出了一种用于求解各种DEs的AI范式，包括DEs控制的第一性原理数据生成方法和尺度扩张算子（SDO）AI求解器。利用先验知识或随机场，我们生成解，然后将它们代入DEs，通过平衡DEs来推导源项和初始/边界条件，从而以极低的计算成本生成大量与第一性原理一致的训练数据集。我们引入了一种可逆SDO，它利用多尺度解的傅里叶变换来修正AHFC，并设计了一种具有SDO的、时空耦合的、基于注意力机制的Transformer AI求解器。损失函数的海森条件数的上界被证明与解梯度的平方2-范数成正比，这表明SDO产生了一个更平滑的损失面，从而通过高效的训练来修正AHFC。对各种DEs的广泛测试表明，我们的AI范式始终优于最先进的方法。这项工作使DEs的AI求解器真正可以在广泛的自然和工程领域中使用。

🔬 方法详解

问题定义：论文旨在解决利用人工智能方法求解微分方程时，训练数据稀缺以及现有方法难以准确逼近解的高频分量的问题。现有方法通常依赖于有限的真实数据或计算成本高昂的数值模拟数据，且在处理高频分量时容易出现精度不足的情况。

核心思路：论文的核心思路是结合第一性原理的数据生成方法和尺度扩张算子（SDO）来构建AI求解器。通过第一性原理生成大量低成本、与微分方程相容的训练数据，并利用SDO在傅里叶空间中处理多尺度解，从而有效解决高频分量逼近问题。

技术框架：整体框架包含两个主要部分：1) 基于微分方程的第一性原理数据生成模块，该模块利用先验知识或随机场生成解，并反推出源项和边界条件，从而构建训练数据集；2) 基于Transformer的AI求解器，该求解器集成了SDO，能够学习微分方程的解。整个流程是先生成数据，然后训练AI求解器，最后利用训练好的求解器预测新的微分方程的解。

关键创新：论文的关键创新在于：1) 提出了一种低成本、高效率的第一性原理数据生成方法，解决了数据稀缺问题；2) 引入了尺度扩张算子（SDO），通过在傅里叶空间中处理多尺度解，有效提升了对高频分量的逼近能力；3) 证明了SDO能够使损失函数的loss landscape更加平滑，从而有利于模型的训练。

关键设计：在数据生成方面，利用先验知识或随机场生成解，然后代入微分方程反推源项和边界条件。在AI求解器方面，采用了基于Transformer的架构，并集成了可逆的SDO。SDO的具体实现是利用傅里叶变换将解转换到频域，然后进行尺度变换，最后再通过逆傅里叶变换转换回时空域。损失函数的设计考虑了微分方程的残差以及边界条件等约束。

📊 实验亮点

论文通过在多个微分方程上的实验验证了所提出方法的有效性。实验结果表明，该方法在精度上始终优于现有最先进的方法，尤其是在高频分量的逼近方面有显著提升。具体性能数据未知，但摘要强调了“consistently superior accuracy”。

🎯 应用场景

该研究成果可广泛应用于自然科学和工程领域，例如流体力学、热传导、电磁学等，为解决相关领域的复杂微分方程问题提供了一种高效、精确的AI解决方案。该方法有望加速相关领域的科学发现和工程设计。

📄 摘要（原文）

Many problems are governed by differential equations (DEs). Artificial intelligence (AI) is a new path for solving DEs. However, data is very scarce and existing AI solvers struggle with approximation of high frequency components (AHFC). We propose an AI paradigm for solving diverse DEs, including DE-ruled first-principles data generation methodology and scale-dilation operator (SDO) AI solver. Using either prior knowledge or random fields, we generate solutions and then substitute them into the DEs to derive the sources and initial/boundary conditions through balancing DEs, thus producing arbitrarily vast amount of, first-principles-consistent training datasets at extremely low computational cost. We introduce a reversible SDO that leverages the Fourier transform of the multiscale solutions to fix AHFC, and design a spatiotemporally coupled, attention-based Transformer AI solver of DEs with SDO. An upper bound on the Hessian condition number of the loss function is proven to be proportional to the squared 2-norm of the solution gradient, revealing that SDO yields a smoother loss landscape, consequently fixing AHFC with efficient training. Extensive tests on diverse DEs demonstrate that our AI paradigm achieves consistently superior accuracy over state-of-the-art methods. This work makes AI solver of DEs to be truly usable in broad nature and engineering fields.