Convergence of Clipped-SGD for Convex $(L_0,L_1)$-Smooth Optimization with Heavy-Tailed Noise

📄 arXiv: 2505.20817v2 📥 PDF

作者: Savelii Chezhegov, Aleksandr Beznosikov, Samuel Horváth, Eduard Gorbunov

分类: math.OC, cs.LG

发布日期: 2025-05-27 (更新: 2025-09-29)

备注: 33 pages

💡 一句话要点

针对重尾噪声下的凸(L0,L1)-光滑优化，提出Clipped-SGD收敛性保证

🎯 匹配领域: 支柱九：具身大模型 (Embodied Foundation Models)

关键词: 梯度裁剪 随机优化 重尾噪声 凸优化 (L0,L1)-光滑性

📋 核心要点

  1. 现有方法在重尾噪声和(L0,L1)-光滑性同时存在时，对Clip-SGD的收敛性分析不足，缺乏高概率保证。
  2. 论文核心在于为凸(L0,L1)-光滑优化下的Clip-SGD建立高概率收敛界限，填补了理论空白。
  3. 分析结果推广了现有理论，在特定条件下可恢复已知的收敛界限，且避免了对噪声的强假设。

📝 摘要（中文）

梯度裁剪是机器学习和深度学习中广泛使用的技术，它能有效缓解重尾噪声的影响，这种噪声常见于大型语言模型的训练中。此外，具有裁剪的一阶方法，如Clip-SGD，在(L0,L1)-光滑性假设下，比SGD表现出更强的收敛保证，这种性质在许多深度学习任务中观察到。然而，在重尾噪声和(L0,L1)-光滑性这两个假设下，Clip-SGD的高概率收敛性尚未在文献中得到充分解决。本文弥补了这一关键空白，为应用于具有重尾噪声的凸(L0,L1)-光滑优化的Clip-SGD建立了第一个高概率收敛界限。我们的分析扩展了先前的结果，通过恢复确定性情况和L1 = 0的随机设置的已知界限作为特例。值得注意的是，我们的速率避免了指数级大的因子，并且不依赖于限制性的次高斯噪声假设，从而显著扩大了梯度裁剪的适用性。

🔬 方法详解

问题定义：论文旨在解决在存在重尾噪声的情况下，如何保证Clipped-SGD算法在凸(L0,L1)-光滑优化问题上的收敛性。现有方法在同时考虑重尾噪声和(L0,L1)-光滑性时，缺乏对Clipped-SGD算法收敛性的严格理论保证，尤其是在高概率意义下。这限制了该算法在实际深度学习任务中的可靠应用，因为深度学习任务经常遇到重尾噪声和满足(L0,L1)-光滑性。

核心思路：论文的核心思路是通过对Clipped-SGD算法进行细致的理论分析，导出其在高概率意义下的收敛界限。关键在于如何处理重尾噪声带来的挑战，以及如何利用(L0,L1)-光滑性来改进收敛速度。通过仔细控制梯度裁剪带来的偏差，并结合(L0,L1)-光滑性的性质，论文推导出了新的收敛速率。

技术框架：论文的整体框架是首先对问题进行形式化定义，然后对Clipped-SGD算法进行理论分析，推导出收敛性结果。具体步骤包括：(1) 定义凸(L0,L1)-光滑优化问题和重尾噪声模型；(2) 分析Clipped-SGD算法的迭代过程；(3) 利用概率论和凸分析的工具，推导出算法的收敛界限；(4) 将所得结果与现有理论进行比较，验证其优越性。

关键创新：论文最重要的技术创新在于建立了Clipped-SGD算法在重尾噪声和(L0,L1)-光滑性假设下的高概率收敛界限。与现有方法相比，该结果不需要对噪声分布进行强假设（如次高斯性），并且避免了指数级大的因子，从而具有更广泛的适用性。此外，该结果推广了现有理论，在特定条件下可以恢复已知的收敛界限。

关键设计：论文的关键设计在于对梯度裁剪参数的选择和对(L0,L1)-光滑性的利用。梯度裁剪参数的选择需要平衡裁剪带来的偏差和噪声的影响。论文可能提供了一种自适应的裁剪参数选择策略。此外，论文需要充分利用(L0,L1)-光滑性的性质，例如通过设计合适的步长策略来加速收敛。

📊 实验亮点

论文建立了Clipped-SGD在重尾噪声和(L0,L1)-光滑性下的首个高概率收敛界限，避免了对噪声的强假设，并推广了现有结果。具体性能提升数据未知，但理论分析表明，该方法在特定条件下可以恢复已知的收敛界限，且避免了指数级大的因子，表明其具有更好的收敛性能。

🎯 应用场景

该研究成果可广泛应用于深度学习模型的训练，尤其是在数据存在噪声或梯度具有重尾分布的情况下。例如，在训练大型语言模型、图像识别模型等任务中，可以利用该理论指导Clipped-SGD算法的参数选择，从而提高模型的训练效率和泛化能力。此外，该研究也为其他优化算法的设计提供了理论基础。

📄 摘要（原文）

Gradient clipping is a widely used technique in Machine Learning and Deep Learning (DL), known for its effectiveness in mitigating the impact of heavy-tailed noise, which frequently arises in the training of large language models. Additionally, first-order methods with clipping, such as Clip-SGD, exhibit stronger convergence guarantees than SGD under the $(L_0,L_1)$-smoothness assumption, a property observed in many DL tasks. However, the high-probability convergence of Clip-SGD under both assumptions -- heavy-tailed noise and $(L_0,L_1)$-smoothness -- has not been fully addressed in the literature. In this paper, we bridge this critical gap by establishing the first high-probability convergence bounds for Clip-SGD applied to convex $(L_0,L_1)$-smooth optimization with heavy-tailed noise. Our analysis extends prior results by recovering known bounds for the deterministic case and the stochastic setting with $L_1 = 0$ as special cases. Notably, our rates avoid exponentially large factors and do not rely on restrictive sub-Gaussian noise assumptions, significantly broadening the applicability of gradient clipping.