Equivariant Representation Learning for Symmetry-Aware Inference with Guarantees

📄 arXiv: 2505.19809v2 📥 PDF

作者: Daniel Ordoñez-Apraez, Vladimir Kostić, Alek Fröhlich, Vivien Brandt, Karim Lounici, Massimiliano Pontil

分类: cs.LG, cs.AI, cs.RO

发布日期: 2025-05-26 (更新: 2025-05-27)

💡 一句话要点

提出一种等变表示学习框架，用于具备保证的对称感知推理。

🎯 匹配领域: 支柱二：RL算法与架构 (RL & Architecture)

关键词: 等变表示学习 对称性 群表示理论 统计学习保证 不确定性量化

📋 核心要点

  1. 现有方法在回归等任务中，未能充分利用数据中蕴含的对称性，导致泛化能力和样本效率受限。
  2. 该论文提出一种等变表示学习框架，通过学习等变且解耦的表示，有效利用数据中的对称性。
  3. 实验结果表明，该方法在回归任务中表现优异，并能提供校准良好的不确定性估计。

📝 摘要（中文）

本文提出了一种等变表示学习框架，旨在利用物理或几何中的对称性，显著提升回归、条件概率估计和不确定性量化等任务的泛化能力和样本效率。尽管几何深度学习在结合群论结构方面取得了显著的经验进展，但对统计学习保证的关注较少。该框架基于算子和群表示理论，逼近条件期望算子的谱分解，构建沿独立对称子群等变且解耦的表示。在合成数据集和真实机器人应用上的实验评估表明，该方法具有潜力，在回归任务中匹配或优于现有的等变基线，同时提供良好校准的参数不确定性估计。

🔬 方法详解

问题定义：论文旨在解决在回归、条件概率估计和不确定性量化等任务中，如何有效利用数据中存在的对称性以提升模型性能的问题。现有方法，尤其是在几何深度学习领域，虽然在经验上取得了进展，但缺乏相应的统计学习保证，并且对对称性的利用不够充分。

核心思路：论文的核心思路是构建一种等变表示学习框架，该框架能够学习到对数据中存在的对称性保持不变的表示。通过将群表示理论融入到表示学习过程中，使得学习到的表示能够自动地适应数据的对称性结构，从而提高模型的泛化能力和样本效率。

技术框架：该框架基于算子和群表示理论，通过逼近条件期望算子的谱分解来构建表示。整体流程包括：1) 输入数据经过一个等变的神经网络进行特征提取；2) 利用群表示理论对提取的特征进行分解，得到一系列等变的子表示；3) 将这些子表示组合起来，形成最终的等变表示。该框架可以应用于回归、条件概率估计和不确定性量化等任务。

关键创新：该论文的关键创新在于提出了一种具有统计学习保证的等变表示学习框架。与以往的等变学习方法相比，该框架不仅在经验上表现良好，而且提供了非渐近的统计学习保证，证明了其在理论上的优越性。此外，该框架能够学习到解耦的表示，使得模型能够更好地理解数据的内在结构。

关键设计：在网络结构设计上，采用了等变的神经网络层，例如等变卷积或等变线性层，以保证特征提取过程的等变性。在损失函数设计上，除了传统的回归损失或分类损失外，还引入了正则化项，以鼓励学习到的表示具有良好的解耦性和稀疏性。此外，还设计了一种新的不确定性量化方法，该方法能够提供校准良好的参数不确定性估计。

📊 实验亮点

在合成数据集和真实机器人应用上的实验结果表明，该方法在回归任务中能够匹配或优于现有的等变基线。更重要的是，该方法能够提供良好校准的参数不确定性估计，这对于安全关键型应用至关重要。例如，在机器人运动规划中，能够准确估计运动轨迹的不确定性，从而避免碰撞。

🎯 应用场景

该研究成果可广泛应用于机器人、计算机视觉、物理模拟等领域。例如，在机器人控制中，可以利用机器人的对称性来提高控制器的鲁棒性和泛化能力。在计算机视觉中，可以利用图像的对称性来进行目标检测和图像分割。在物理模拟中，可以利用物理系统的对称性来加速模拟过程。

📄 摘要（原文）

In many real-world applications of regression, conditional probability estimation, and uncertainty quantification, exploiting symmetries rooted in physics or geometry can dramatically improve generalization and sample efficiency. While geometric deep learning has made significant empirical advances by incorporating group-theoretic structure, less attention has been given to statistical learning guarantees. In this paper, we introduce an equivariant representation learning framework that simultaneously addresses regression, conditional probability estimation, and uncertainty quantification while providing first-of-its-kind non-asymptotic statistical learning guarantees. Grounded in operator and group representation theory, our framework approximates the spectral decomposition of the conditional expectation operator, building representations that are both equivariant and disentangled along independent symmetry subgroups. Empirical evaluations on synthetic datasets and real-world robotics applications confirm the potential of our approach, matching or outperforming existing equivariant baselines in regression while additionally providing well-calibrated parametric uncertainty estimates.