CodePDE: An Inference Framework for LLM-driven PDE Solver Generation

📄 arXiv: 2505.08783v1 📥 PDF

作者: Shanda Li, Tanya Marwah, Junhong Shen, Weiwei Sun, Andrej Risteski, Yiming Yang, Ameet Talwalkar

分类: cs.LG, cs.AI, cs.CL, math.NA

发布日期: 2025-05-13

🔗 代码/项目: GITHUB

💡 一句话要点

CodePDE：利用大语言模型生成偏微分方程求解器的推理框架

🎯 匹配领域: 支柱九：具身大模型 (Embodied Foundation Models)

关键词: 偏微分方程求解 大语言模型 代码生成 推理框架 数值计算

📋 核心要点

  1. 传统PDE求解器依赖专家知识且计算成本高，神经网络方法需大量训练数据且缺乏可解释性，面临挑战。
  2. CodePDE将PDE求解视为代码生成任务，利用LLM的推理、调试和自完善能力，无需特定任务调整。
  3. CodePDE在多个PDE问题上表现超越人类，并分析了LLM生成求解器的准确性、效率和数值方案选择。

📝 摘要（中文）

偏微分方程（PDEs）是物理系统建模的基础，但求解它们仍然是一个复杂的挑战。传统的数值求解器依赖于专家知识来实现，并且计算成本高昂，而基于神经网络的求解器需要大量的训练数据集，并且通常缺乏可解释性。本文将PDE求解定义为代码生成任务，并介绍了CodePDE，这是第一个使用大型语言模型（LLMs）生成PDE求解器的推理框架。通过利用先进的推理时算法和缩放策略，CodePDE解锁了LLM在PDE求解中的关键能力：推理、调试、自我完善和测试时缩放——所有这些都无需特定于任务的调整。CodePDE在一系列具有代表性的PDE问题上实现了超人的性能。我们还对LLM生成的求解器进行了系统的实证分析，分析了它们的准确性、效率和数值方案选择。我们的发现突出了LLM在PDE求解中的前景和当前的局限性，为求解器设计和未来模型开发提供了新的视角。我们的代码可在https://github.com/LithiumDA/CodePDE 获得。

🔬 方法详解

问题定义：论文旨在解决偏微分方程（PDE）求解的难题。现有数值求解器依赖专家知识，开发成本高，计算量大。而基于神经网络的求解器需要大量训练数据，泛化能力受限，且缺乏可解释性。因此，如何高效、通用、可解释地求解PDE是亟待解决的问题。

核心思路：论文的核心思路是将PDE求解问题转化为代码生成问题，利用大型语言模型（LLMs）强大的代码生成能力，直接生成可执行的PDE求解器代码。这种方法避免了传统数值方法的复杂手动实现，也无需像神经网络方法那样进行大量训练。通过prompt工程和推理时优化，充分挖掘LLM在PDE求解方面的潜力。

技术框架：CodePDE框架主要包含以下几个阶段：1) 问题定义：将PDE问题以自然语言描述的形式输入到LLM中。2) 代码生成：LLM根据问题描述生成相应的求解器代码。3) 调试与优化：利用LLM的调试能力，对生成的代码进行修正和优化。4) 执行与评估：运行生成的代码，并评估求解结果的准确性和效率。框架的关键在于如何设计有效的prompt，以及如何利用LLM的推理能力进行代码调试和优化。

关键创新：CodePDE的关键创新在于将LLM应用于PDE求解领域，并提出了一套有效的推理框架，充分利用了LLM的代码生成、调试和优化能力。与传统方法相比，CodePDE无需手动编写复杂的求解器代码，也无需大量训练数据，具有更高的通用性和可扩展性。与现有的基于神经网络的PDE求解器相比，CodePDE生成的代码具有更好的可解释性。

关键设计：CodePDE的关键设计包括：1) Prompt工程：设计有效的prompt，引导LLM生成高质量的求解器代码。Prompt需要包含PDE问题的完整描述，以及求解器的基本要求。2) 推理时优化：利用LLM的调试能力，对生成的代码进行修正和优化。例如，可以利用LLM检测代码中的错误，并提出修改建议。3) 测试时缩放：通过调整LLM的参数，例如温度系数，来控制生成代码的多样性和质量。4) 数值方案选择：通过prompt引导LLM选择合适的数值方案，例如有限差分法、有限元法等。

🖼️ 关键图片

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📊 实验亮点

CodePDE在多个代表性的PDE问题上取得了超人类的性能。通过实验分析，论文验证了LLM生成求解器的准确性、效率和数值方案选择的合理性。实验结果表明，CodePDE在求解某些PDE问题时，其性能甚至超过了人工编写的求解器。此外，论文还对LLM生成求解器的局限性进行了分析，为未来的模型开发提供了新的方向。

🎯 应用场景

CodePDE具有广泛的应用前景，可应用于流体力学、热传导、电磁学等多个领域。它可以帮助科研人员和工程师快速开发PDE求解器，加速科学研究和工程设计。此外，CodePDE还可以用于教育领域，帮助学生更好地理解PDE的求解过程。未来，CodePDE有望成为一种通用的PDE求解工具，推动相关领域的发展。

📄 摘要（原文）

Partial differential equations (PDEs) are fundamental to modeling physical systems, yet solving them remains a complex challenge. Traditional numerical solvers rely on expert knowledge to implement and are computationally expensive, while neural-network-based solvers require large training datasets and often lack interpretability. In this work, we frame PDE solving as a code generation task and introduce CodePDE, the first inference framework for generating PDE solvers using large language models (LLMs). Leveraging advanced inference-time algorithms and scaling strategies, CodePDE unlocks critical capacities of LLM for PDE solving: reasoning, debugging, selfrefinement, and test-time scaling -- all without task-specific tuning. CodePDE achieves superhuman performance across a range of representative PDE problems. We also present a systematic empirical analysis of LLM generated solvers, analyzing their accuracy, efficiency, and numerical scheme choices. Our findings highlight the promise and the current limitations of LLMs in PDE solving, offering a new perspective on solver design and opportunities for future model development. Our code is available at https://github.com/LithiumDA/CodePDE.