Transferable Foundation Models for Geometric Tasks on Point Cloud Representations: Geometric Neural Operators

📄 arXiv: 2503.04649v2 📥 PDF

作者: Blaine Quackenbush, Paul J. Atzberger

分类: cs.LG, cs.CV, math.NA, math.OC

发布日期: 2025-03-06 (更新: 2025-04-17)

💡 一句话要点

提出几何神经算子（GNP）作为点云几何任务的可迁移基础模型。

🎯 匹配领域: 支柱九：具身大模型 (Embodied Foundation Models)

关键词: 几何深度学习 点云处理 神经算子 几何偏微分方程 形状分析

📋 核心要点

  1. 现有方法在处理点云几何任务时，泛化能力和鲁棒性不足，难以适应复杂形状和噪声环境。
  2. 提出几何神经算子（GNP），通过预训练学习点云微分几何的鲁棒潜在表示，实现几何特征的提取和迁移。
  3. 实验表明，预训练的GNP在估计几何属性、求解几何PDE和形状变形方程等方面表现出色，具有良好的鲁棒性和泛化能力。

📝 摘要（中文）

本文提出了一种获取预训练几何神经算子（GNP）的方法，该算子可以作为基础模型，用于提取几何特征，并应用于机器学习任务和数值方法的数据处理流程中。我们展示了如何训练GNP来学习点云微分几何的鲁棒潜在表示，从而提供度量、曲率和其他形状相关特征的估计。我们证明了预训练的GNP可以用于：（i）估计任意形状和拓扑表面的几何属性，并在存在噪声的情况下保持鲁棒性；（ii）逼近流形上的几何偏微分方程（PDE）的解；（iii）求解形状变形方程，例如曲率驱动流。我们发布了包含GNP使用代码和权重的geo_neural_op包，允许将预训练的GNP作为组件重用在现有和新的数据处理流程中。GNP还可以作为数值求解器的一部分，用于几何相关的计算，或作为执行推理和其他几何任务的方法的一部分。

🔬 方法详解

问题定义：现有方法在处理点云数据时，难以提取鲁棒的几何特征，尤其是在噪声干扰和复杂拓扑结构下。这限制了它们在各种几何任务中的应用，例如曲面重建、形状分析和几何偏微分方程求解。现有方法通常需要针对特定任务进行定制，缺乏通用性和可迁移性。

核心思路：本文的核心思路是利用神经算子学习点云的微分几何特征，并将其作为可迁移的基础模型。通过预训练，GNP能够学习到鲁棒的几何表示，从而可以应用于各种下游任务，而无需从头开始训练。这种方法借鉴了自然语言处理中预训练语言模型的思想，旨在提高模型的泛化能力和效率。

技术框架：GNP的整体框架包括以下几个主要阶段：1) 点云编码：将原始点云数据输入到编码器中，提取局部几何特征。2) 潜在空间表示：将编码后的特征映射到潜在空间，学习点云的几何表示。3) 神经算子：利用神经算子在潜在空间中进行操作，例如计算曲率、求解偏微分方程等。4) 解码器：将神经算子的输出解码回原始空间，得到最终的几何属性估计或求解结果。

关键创新：本文最重要的技术创新在于提出了几何神经算子（GNP）的概念，并将其应用于点云几何任务。与传统的基于手工特征的方法相比，GNP能够自动学习点云的几何表示，具有更强的鲁棒性和泛化能力。此外，GNP的可迁移性使得它可以应用于各种下游任务，大大提高了模型的效率。

关键设计：GNP的关键设计包括：1) 编码器和解码器的选择：可以使用各种神经网络结构，例如PointNet、DGCNN等。2) 神经算子的设计：可以使用各种类型的神经算子，例如傅里叶神经算子、小波神经算子等。3) 损失函数的设计：可以使用各种损失函数，例如均方误差、交叉熵等，以优化GNP的性能。4) 预训练策略：采用自监督学习或对比学习等方法进行预训练，提高GNP的几何表示能力。

🖼️ 关键图片

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📊 实验亮点

实验结果表明，预训练的GNP在估计曲面几何属性方面表现出色，即使在存在噪声的情况下也能保持较高的精度。此外，GNP在求解几何偏微分方程和形状变形方程方面也取得了显著成果，与传统的数值方法相比，具有更高的效率和精度。代码和预训练权重已开源，方便研究人员使用和扩展。

🎯 应用场景

该研究成果可广泛应用于计算机辅助设计、逆向工程、医学图像分析、机器人导航等领域。例如，在CAD领域，可以利用GNP进行曲面重建和形状优化；在医学图像分析中，可以用于肿瘤分割和疾病诊断；在机器人导航中，可以用于环境感知和路径规划。该研究有望推动几何深度学习的发展，并为相关领域的应用提供新的解决方案。

📄 摘要（原文）

We introduce methods for obtaining pretrained Geometric Neural Operators (GNPs) that can serve as basal foundation models for use in obtaining geometric features. These can be used within data processing pipelines for machine learning tasks and numerical methods. We show how our GNPs can be trained to learn robust latent representations for the differential geometry of point-clouds to provide estimates of metric, curvature, and other shape-related features. We demonstrate how our pre-trained GNPs can be used (i) to estimate the geometric properties of surfaces of arbitrary shape and topologies with robustness in the presence of noise, (ii) to approximate solutions of geometric partial differential equations (PDEs) on manifolds, and (iii) to solve equations for shape deformations such as curvature driven flows. We release codes and weights for using GNPs in the package geo_neural_op. This allows for incorporating our pre-trained GNPs as components for reuse within existing and new data processing pipelines. The GNPs also can be used as part of numerical solvers involving geometry or as part of methods for performing inference and other geometric tasks.