Physics-informed Gaussian Processes as Linear Model Predictive Controller

📄 arXiv: 2412.04502v2 📥 PDF

作者: Jörn Tebbe, Andreas Besginow, Markus Lange-Hegermann

分类: math.OC, cs.LG, eess.SY

发布日期: 2024-12-02 (更新: 2025-07-31)

备注: Accepted at L4DC 2025

💡 一句话要点

提出一种基于物理信息高斯过程的线性模型预测控制算法，用于线性时不变系统的跟踪控制。

🎯 匹配领域: 支柱一：机器人控制 (Robot Control)

关键词: 高斯过程 模型预测控制 线性系统 贝叶斯推理 物理信息 跟踪控制 开环稳定性

📋 核心要点

  1. 传统控制方法在处理复杂系统和不确定性时面临挑战，需要更鲁棒和适应性强的控制策略。
  2. 该论文提出利用满足特定物理约束的高斯过程进行控制，通过贝叶斯推理实现控制输入的设计。
  3. 通过数值实验验证了所提出控制器的开环稳定性，展示了其在跟踪问题中的有效性。

📝 摘要（中文）

本文提出了一种用于解决线性时不变系统跟踪问题的新算法。该控制器基于高斯过程（GP），其实现满足具有常系数的线性常微分方程组。通过将先验GP调节到设定点来确定用于跟踪的控制输入，即控制即推理。由此产生的模型预测控制方案通过将虚拟设定点引入后验高斯过程来结合逐点软约束。我们从理论上证明了我们的控制器通过利用贝叶斯推理的一般结果来满足最优控制问题的开环稳定性，并在数值例子中证明了这一结果。

🔬 方法详解

问题定义：论文旨在解决线性时不变系统中的跟踪控制问题。现有方法可能难以处理系统中的不确定性，或者在满足约束条件方面存在局限性。传统的模型预测控制（MPC）可能需要精确的系统模型，而获取精确模型往往是困难的。

核心思路：论文的核心思路是将高斯过程（GP）与物理信息相结合，利用GP对系统状态进行建模，并利用贝叶斯推理来确定控制输入。通过将控制问题转化为推理问题，可以自然地处理系统中的不确定性，并利用GP的非参数特性来适应不同的系统行为。

技术框架：该方法的核心是构建一个满足线性常微分方程组的高斯过程。整体流程如下：1) 定义系统的线性常微分方程；2) 构建满足该方程的高斯过程先验；3) 将先验GP调节到设定点，得到后验GP；4) 利用后验GP确定控制输入；5) 通过引入虚拟设定点来实现软约束。该框架将控制问题转化为贝叶斯推理问题，利用GP的特性进行控制。

关键创新：该方法最重要的创新点在于将物理信息（线性常微分方程）融入到高斯过程中，从而约束GP的解空间，使其更符合实际系统的物理特性。此外，将控制问题转化为贝叶斯推理问题，利用GP的后验分布来确定控制输入，可以自然地处理系统中的不确定性。

关键设计：关键设计包括：1) 如何构建满足线性常微分方程组的高斯过程先验；2) 如何将设定点信息融入到GP中，得到后验GP；3) 如何选择合适的核函数来描述系统状态之间的相关性；4) 如何通过引入虚拟设定点来实现软约束。具体的参数设置和核函数选择可能需要根据具体的系统特性进行调整。

🖼️ 关键图片

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📊 实验亮点

论文通过数值实验验证了所提出控制器的开环稳定性。实验结果表明，该控制器能够有效地跟踪设定点，并在满足约束条件的同时保持系统的稳定性。虽然论文中没有提供具体的性能数据和对比基线，但开环稳定性的证明是该方法的一个重要优势。

🎯 应用场景

该研究成果可应用于各种需要精确跟踪控制的线性时不变系统，例如机器人控制、自动化生产线、飞行器控制等。通过结合物理信息和高斯过程，可以提高控制系统的鲁棒性和适应性，降低对系统模型的依赖，从而在实际应用中具有重要价值。

📄 摘要（原文）

We introduce a novel algorithm for controlling linear time invariant systems in a tracking problem. The controller is based on a Gaussian Process (GP) whose realizations satisfy a system of linear ordinary differential equations with constant coefficients. Control inputs for tracking are determined by conditioning the prior GP on the setpoints, i.e. control as inference. The resulting Model Predictive Control scheme incorporates pointwise soft constraints by introducing virtual setpoints to the posterior Gaussian process. We show theoretically that our controller satisfies open-loop stability for the optimal control problem by leveraging general results from Bayesian inference and demonstrate this result in a numerical example.