Unraveling Arithmetic in Large Language Models: The Role of Algebraic Structures

📄 arXiv: 2411.16260v3 📥 PDF

作者: Fu-Chieh Chang, You-Chen Lin, Pei-Yuan Wu

分类: cs.LG, cs.CL

发布日期: 2024-11-25 (更新: 2025-04-19)

期刊: ICLR 2025 Workshop on Reasoning and Planning for Large Language Models

💡 一句话要点

利用代数结构提升大语言模型算术能力，实现更强的泛化性

🎯 匹配领域: 支柱九：具身大模型 (Embodied Foundation Models)

关键词: 大语言模型 算术推理 代数结构 泛化能力 Transformer 思维链 数学能力

📋 核心要点

  1. 现有大语言模型在算术推理中，单步计算的内在机制尚不明确，是数值编码还是符号推理仍存争议。
  2. 论文提出LLM通过学习代数结构（如交换律和恒等律）来进行算术运算，这些结构具有泛化能力。
  3. 实验证明LLM能够学习代数结构，理论分析表明Transformer结构在特定配置下能生成对输入不变的嵌入。

📝 摘要（中文）

大型语言模型（LLM）展现了卓越的数学能力，这主要归功于思维链（CoT）提示，它将复杂的推理分解为逐步的解决方案。这种方法促成了显著的进步，GSM8K和MATH等基准测试的性能就证明了这一点。然而，LLM在CoT的单个步骤中执行算术运算的机制仍然知之甚少。现有研究争论LLM是编码数值还是依赖符号推理，而其他研究则探索注意力和多层处理在算术任务中的作用。本文提出，LLM通过捕获代数结构（如交换律和恒等律）来学习算术。由于这些结构可以通过输入-输出关系观察到，因此它们可以推广到未见过的数据。我们通过一个自定义的算术问题数据集，实证地证明了LLM可以学习代数结构，并提供了理论证据，表明在权重和偏差的特定配置下，基于Transformer的LLM可以生成对输入token的排列和恒等元素的存在保持不变的嵌入。我们的研究结果表明，利用代数结构可以增强LLM的算术能力，并为提高其算术性能提供见解。

🔬 方法详解

问题定义：现有的大语言模型在算术运算方面表现出色，但其内部机制，特别是单步运算的原理，仍然是一个黑盒。现有的研究无法解释LLM是如何有效地处理算术运算，以及它们是如何泛化到未见过的数据的。主要的痛点在于缺乏对LLM如何表示和操作数值信息的理解。

核心思路：论文的核心思路是，LLM通过学习算术运算中的代数结构（如交换律、结合律和恒等律）来执行算术运算。这些代数结构可以通过输入-输出关系来观察和学习，因此LLM可以利用这些结构来泛化到新的算术问题。这种方法避免了直接编码数值，而是侧重于学习运算的内在属性。

技术框架：论文采用了一种混合的方法，包括实证研究和理论分析。首先，作者构建了一个自定义的算术问题数据集，用于训练和评估LLM。然后，他们分析了LLM在学习代数结构方面的表现。此外，作者还提供了理论证据，证明在特定的权重和偏差配置下，Transformer架构可以生成对输入token的排列和恒等元素的存在保持不变的嵌入。

关键创新：该论文的关键创新在于提出了LLM通过学习代数结构来进行算术运算的观点。与以往关注数值编码或符号推理的研究不同，该论文强调了代数结构在算术运算中的重要性。这种观点为理解LLM的算术能力提供了一个新的视角。

关键设计：论文的关键设计包括：1) 自定义算术数据集的设计，该数据集旨在测试LLM学习代数结构的能力；2) 理论分析中，对Transformer架构的权重和偏差的特定配置进行了研究，以证明其可以生成对输入不变的嵌入；3) 实验评估中，对LLM在学习代数结构方面的表现进行了量化分析。

🖼️ 关键图片

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📊 实验亮点

论文通过实验证明，LLM能够有效地学习算术运算中的代数结构，并且这些结构可以帮助LLM泛化到未见过的数据。理论分析表明，Transformer架构在特定配置下可以生成对输入不变的嵌入，这为理解LLM的算术能力提供了理论支持。具体的性能数据和提升幅度在摘要中未明确给出，属于未知信息。

🎯 应用场景

该研究成果可应用于提升大语言模型在数学、科学计算等领域的性能。通过学习代数结构，LLM可以更好地理解和处理各种算术运算，从而提高其解决复杂问题的能力。此外，该研究还可以为设计更高效、更可靠的LLM提供新的思路。

📄 摘要（原文）

Large language models (LLMs) have demonstrated remarkable mathematical capabilities, largely driven by chain-of-thought (CoT) prompting, which decomposes complex reasoning into step-by-step solutions. This approach has enabled significant advancements, as evidenced by performance on benchmarks like GSM8K and MATH. However, the mechanisms underlying LLMs' ability to perform arithmetic in a single step of CoT remain poorly understood. Existing studies debate whether LLMs encode numerical values or rely on symbolic reasoning, while others explore attention and multi-layered processing in arithmetic tasks. In this work, we propose that LLMs learn arithmetic by capturing algebraic structures, such as commutativity and identity properties. Since these structures are observable through input-output relationships, they can generalize to unseen data. We empirically demonstrate that LLMs can learn algebraic structures using a custom dataset of arithmetic problems, as well as providing theoretical evidence showing that, under specific configurations of weights and biases, the transformer-based LLMs can generate embeddings that remain invariant to both permutations of input tokens and the presence of identity elements. Our findings indicate that leveraging algebraic structures can enhance the LLMs' arithmetic capabilities, offering insights into improving their arithmetic performance.