Equivariant Polynomial Functional Networks

📄 arXiv: 2410.04213v2 📥 PDF

作者: Thieu N. Vo, Viet-Hoang Tran, Tho Tran Huu, An Nguyen The, Thanh Tran, Minh-Khoi Nguyen-Nhat, Duy-Tung Pham, Tan Minh Nguyen

分类: cs.LG

发布日期: 2024-10-05 (更新: 2025-12-20)

💡 一句话要点

提出MAGEP-NFN，一种高效且具有表达力的置换和尺度等变函数网络。

🎯 匹配领域: 支柱三：空间感知与语义 (Perception & Semantics)

关键词: 神经函数网络 等变神经网络 置换等变性 尺度等变性 参数共享 多项式网络 模型表达能力

📋 核心要点

  1. 现有基于图的等变NFNs内存消耗高、运行时间长，而基于参数共享的NFNs表达能力有限。
  2. MAGEP-NFN通过构建输入权重的多项式表示的非线性等变层，在参数共享机制下提升模型表达能力。
  3. 实验结果表明，MAGEP-NFN在保持效率的同时，性能与现有方法相比具有竞争力。

📝 摘要（中文）

神经函数网络(NFNs)因其广泛的应用而受到越来越多的关注，包括从数据的隐式表示中提取信息、编辑网络权重和评估策略。NFNs的一个关键设计原则是它们遵循输入神经网络连接主义结构中固有的置换和尺度对称性。最近提出的NFNs基于图的消息传递机制或参数共享机制，实现了置换和尺度等变性。然而，基于图的等变NFNs存在内存消耗高和运行时间长的问题。另一方面，基于参数共享的NFNs建立在等变线性层之上，虽然内存消耗较低且运行速度更快，但由于输入神经网络的对称群规模庞大，其表达能力受到限制。设计一种既能保持低内存消耗和运行时间，又能保持表达能力的置换和尺度等变NFN仍然是一个未解决的挑战。在本文中，我们提出了一种新的解决方案，即开发MAGEP-NFN（单项式矩阵群等变多项式NFN）。我们的方法遵循参数共享机制，但与以往的工作不同，它构建了一个非线性等变层，表示为输入权重的多项式。这种多项式公式使我们能够结合来自不同输入隐藏层的权重之间的额外关系，从而提高模型的表达能力，同时保持较低的内存消耗和运行时间，从而解决上述挑战。我们提供的经验证据表明，与现有的基线相比，MAGEP-NFN实现了具有竞争力的性能和效率。

🔬 方法详解

问题定义：论文旨在解决现有等变神经函数网络（NFNs）在置换和尺度等变性下，如何在表达能力、内存消耗和运行时间之间取得平衡的问题。现有基于图的NFNs虽然具有较强的表达能力，但内存消耗和运行时间过高；而基于参数共享的NFNs虽然效率较高，但表达能力受限。

核心思路：论文的核心思路是利用多项式函数来表示NFN中的非线性等变层。通过将输入权重表示为多项式，模型可以学习到不同输入隐藏层权重之间的复杂关系，从而在不显著增加计算复杂度的前提下，提升模型的表达能力。这种方法仍然遵循参数共享机制，以保持较低的内存消耗和运行时间。

技术框架：MAGEP-NFN的整体框架基于参数共享机制，但其关键在于非线性等变层的构建。该层将输入权重作为多项式的变量，通过多项式运算来提取特征。整体流程包括：1）输入神经网络的权重作为输入；2）构建多项式等变层，进行非线性变换；3）输出经过等变变换后的特征表示。

关键创新：最重要的技术创新点在于使用多项式函数来构建等变层。与传统的线性等变层相比，多项式函数能够捕捉输入权重之间更复杂的关系，从而提升模型的表达能力。与基于图的等变方法相比，该方法避免了复杂的图结构计算，从而降低了内存消耗和运行时间。

关键设计：论文的关键设计包括：1）多项式函数的选择和阶数：需要根据具体任务选择合适的多项式函数和阶数，以平衡表达能力和计算复杂度。2）参数共享策略：采用参数共享机制来保证模型的等变性，并减少参数数量。3）损失函数的设计：需要设计合适的损失函数来训练模型，以保证模型的性能。

📊 实验亮点

论文提出的MAGEP-NFN在实验中表现出与现有基线方法相当甚至更优的性能，同时保持了较低的内存消耗和运行时间。具体性能数据和对比基线在论文正文中给出，证明了该方法在效率和表达能力上的优势。

🎯 应用场景

MAGEP-NFN可应用于各种需要从神经网络中提取信息或编辑网络权重的场景，例如元学习、策略评估和网络压缩等。该方法在保持效率的同时提升了表达能力，使其在资源受限的环境中具有潜在的应用价值。未来可以探索其在更大规模、更复杂神经网络上的应用。

📄 摘要（原文）

Neural Functional Networks (NFNs) have gained increasing interest due to their wide range of applications, including extracting information from implicit representations of data, editing network weights, and evaluating policies. A key design principle of NFNs is their adherence to the permutation and scaling symmetries inherent in the connectionist structure of the input neural networks. Recent NFNs have been proposed with permutation and scaling equivariance based on either graph-based message-passing mechanisms or parameter-sharing mechanisms. However, graph-based equivariant NFNs suffer from high memory consumption and long running times. On the other hand, parameter-sharing-based NFNs built upon equivariant linear layers exhibit lower memory consumption and faster running time, yet their expressivity is limited due to the large size of the symmetric group of the input neural networks. The challenge of designing a permutation and scaling equivariant NFN that maintains low memory consumption and running time while preserving expressivity remains unresolved. In this paper, we propose a novel solution with the development of MAGEP-NFN (Monomial mAtrix Group Equivariant Polynomial NFN). Our approach follows the parameter-sharing mechanism but differs from previous works by constructing a nonlinear equivariant layer represented as a polynomial in the input weights. This polynomial formulation enables us to incorporate additional relationships between weights from different input hidden layers, enhancing the model's expressivity while keeping memory consumption and running time low, thereby addressing the aforementioned challenge. We provide empirical evidence demonstrating that MAGEP-NFN achieves competitive performance and efficiency compared to existing baselines.