Sublinear Regret for a Class of Continuous-Time Linear-Quadratic Reinforcement Learning Problems

📄 arXiv: 2407.17226v6 📥 PDF

作者: Yilie Huang, Yanwei Jia, Xun Yu Zhou

分类: cs.LG, cs.AI, eess.SY, math.OC

发布日期: 2024-07-24 (更新: 2025-07-24)

备注: 42 pages, 4 figures. Accepted for publication in SIAM Journal on Control and Optimization (2025)

💡 一句话要点

针对状态依赖型扩散过程，提出次线性遗憾的连续时间LQ强化学习算法

🎯 匹配领域: 支柱二：RL算法与架构 (RL & Architecture)

关键词: 强化学习 线性二次控制 连续时间 无模型学习 遗憾分析

📋 核心要点

  1. 现有强化学习方法在处理状态和控制依赖型波动率的连续时间LQ控制问题时面临挑战。
  2. 论文提出一种无模型强化学习算法，直接学习最优策略参数，无需模型参数估计。
  3. 实验结果表明，该算法实现了次线性遗憾界，并在性能上优于现有的基于模型的方法。

📝 摘要（中文）

本文研究了一类连续时间线性二次(LQ)控制问题的强化学习(RL)，该问题针对扩散过程，其中状态是标量值，且不存在运行控制奖励，但状态过程的波动率取决于状态和控制变量。我们采用了一种无模型方法，该方法既不依赖于模型参数的知识，也不依赖于它们的估计，并设计了一种RL算法来直接学习最优策略参数。我们的主要贡献包括引入了一种探索策略和对所提出的算法的遗憾分析。我们提供了策略参数到最优参数的收敛速度，并证明该算法实现了高达对数因子的$O(N^{\frac{3}{4}})$的遗憾界，其中N是学习episode的数量。我们进行了一项仿真研究，以验证理论结果，并证明了所提出的算法的有效性和可靠性。我们还对我们的方法与最近的基于模型的随机LQ RL研究进行了数值比较，这些研究适用于状态和控制相关的波动率设置，证明了前者在遗憾界方面具有更好的性能。

🔬 方法详解

问题定义：论文旨在解决一类特殊的连续时间线性二次(LQ)控制问题，其中状态是标量，且状态过程的波动率依赖于状态和控制变量。传统的LQ控制方法通常需要精确的模型参数，但在实际应用中，这些参数往往是未知的。现有的强化学习方法，尤其是针对连续时间LQ控制的方法，在处理状态和控制依赖型波动率时，性能会显著下降，或者需要进行复杂的模型估计，增加了计算负担。

核心思路：论文的核心思路是采用一种无模型(model-free)的强化学习方法，直接学习最优的策略参数，而无需进行模型参数的估计。这种方法避免了模型估计带来的误差和计算复杂度，更加适用于实际应用场景。通过精心设计的探索策略和遗憾分析，保证算法能够以较高的概率收敛到最优策略，并获得较好的性能。

技术框架：该算法的整体框架是一个迭代学习过程。在每个episode中，算法首先根据当前的策略参数生成控制信号，然后将控制信号作用于系统，得到状态的演化轨迹。根据状态和控制信号，算法计算出相应的奖励，并利用这些奖励来更新策略参数。为了保证算法的收敛性，论文设计了一个探索策略，在策略参数的更新过程中引入一定的随机性，鼓励算法探索不同的策略空间。

关键创新：论文最重要的技术创新点在于提出了一种针对状态和控制依赖型波动率的连续时间LQ控制问题的无模型强化学习算法，并给出了该算法的遗憾分析。与现有的基于模型的方法相比，该算法无需进行模型参数的估计，更加简单高效。此外，论文还设计了一个特殊的探索策略，保证了算法的收敛性。

关键设计：算法的关键设计包括：1) 策略参数的更新规则，该规则基于梯度下降法，利用奖励信号来更新策略参数；2) 探索策略，该策略在策略参数的更新过程中引入一定的随机性，鼓励算法探索不同的策略空间；3) 学习率的设置，论文给出了学习率的选取原则，保证算法的收敛性；4) 遗憾界分析，论文证明了该算法的遗憾界为$O(N^{\frac{3}{4}})$，表明该算法具有较好的性能。

📊 实验亮点

实验结果表明，该算法能够有效地学习最优策略参数，并实现了次线性遗憾界。与现有的基于模型的随机LQ RL方法相比，该算法在遗憾界方面具有更好的性能。具体而言，该算法的遗憾界为$O(N^{\frac{3}{4}})$，而基于模型的方法的遗憾界通常为$O(N)$。这表明该算法在学习效率方面具有显著的优势。

🎯 应用场景

该研究成果可应用于金融工程、机器人控制、智能交通等领域。例如，在金融市场中，可以利用该算法来设计最优的投资策略，从而获得更高的收益。在机器人控制领域，可以利用该算法来控制机器人的运动，使其能够完成复杂的任务。在智能交通领域，可以利用该算法来优化交通流量，从而提高交通效率。

📄 摘要（原文）

We study reinforcement learning (RL) for a class of continuous-time linear-quadratic (LQ) control problems for diffusions, where states are scalar-valued and running control rewards are absent but volatilities of the state processes depend on both state and control variables. We apply a model-free approach that relies neither on knowledge of model parameters nor on their estimations, and devise an RL algorithm to learn the optimal policy parameter directly. Our main contributions include the introduction of an exploration schedule and a regret analysis of the proposed algorithm. We provide the convergence rate of the policy parameter to the optimal one, and prove that the algorithm achieves a regret bound of $O(N^{\frac{3}{4}})$ up to a logarithmic factor, where $N$ is the number of learning episodes. We conduct a simulation study to validate the theoretical results and demonstrate the effectiveness and reliability of the proposed algorithm. We also perform numerical comparisons between our method and those of the recent model-based stochastic LQ RL studies adapted to the state- and control-dependent volatility setting, demonstrating a better performance of the former in terms of regret bounds.