Neural Geometry Processing via Spherical Neural Surfaces
作者: Romy Williamson, Niloy J. Mitra
分类: cs.GR, cs.AI, cs.CV
发布日期: 2024-07-10 (更新: 2025-03-14)
备注: 14 pages, 14 figures
💡 一句话要点
提出基于球面神经表面的几何处理方法，无需网格化即可进行表面分析。
🎯 匹配领域: 支柱三：空间感知与语义 (Perception & Semantics)
关键词: 神经表面 几何处理 球面参数化 深度学习 形状分析
📋 核心要点
- 现有神经表面表示缺乏直接几何处理工具，通常需要先转换为网格。
- 提出球面神经表面表示，可直接计算几何算子，无需网格化。
- 在频谱分析、热流和平均曲率流等应用中验证了方法的有效性和鲁棒性。
📝 摘要（中文）
神经表面（例如，神经映射编码、深度隐式表示和神经辐射场）因其通用结构（例如，多层感知器）以及与现代基于学习的设置的易于集成而日益普及。传统上，我们拥有丰富的几何处理算法工具箱，专为多边形网格设计，以分析和操作表面几何。在缺乏类似工具箱的情况下，神经表示通常被离散化并转换为网格，然后才能应用任何几何处理算法。这是不令人满意的，并且正如我们所展示的，是不必要的。在这项工作中，我们提出了一种用于亏格为0的表面的球面神经表面表示，并演示了如何直接在该表示上计算核心几何算子。即，我们估计表面法线以及表面的第一和第二基本形式，并计算定义在表面上的标量/矢量场的表面梯度、表面散度和Laplace-Beltrami算子。我们的表示是完全无缝的，克服了类似显式表示（如神经表面图[Morreale et al. 2021]）的一个关键限制。这些算子反过来使得可以直接在神经表示上进行几何处理，而无需任何不必要的网格划分。我们展示了在（神经）频谱分析、热流和平均曲率流中的说明性应用，并评估了对等距形状变化的鲁棒性。我们提出了理论公式，并针对分析估计、基于网格的基线和神经替代方案（如果可用）验证了它们的数值估计。通过系统地将神经表面表示与经典几何处理算法联系起来，我们相信这项工作可以成为实现神经几何处理的关键要素。
🔬 方法详解
问题定义：论文旨在解决神经表面表示无法直接进行几何处理的问题。现有方法通常需要将神经表面转换为网格，然后才能应用传统的几何处理算法，这引入了额外的计算开销和潜在的精度损失。此外，某些神经表面表示（如神经表面图）存在缝隙问题，限制了其应用范围。
核心思路：论文的核心思路是利用球面参数化来表示亏格为0的神经表面。通过将三维表面映射到二维球面上，可以在球面坐标系下定义几何算子，并直接在神经表示上进行计算，避免了网格化过程。球面参数化天然具有无缝性，克服了神经表面图的局限性。
技术框架：该方法的技术框架主要包括以下几个步骤：1) 使用多层感知器（MLP）表示球面神经表面。2) 基于球面参数化，推导表面法线、第一和第二基本形式等几何量的计算公式。3) 定义表面梯度、表面散度和Laplace-Beltrami算子等几何算子。4) 将这些算子应用于各种几何处理任务，如频谱分析、热流和平均曲率流。
关键创新：该论文的关键创新在于提出了一种基于球面神经表面的几何处理框架，可以直接在神经表示上计算几何算子，无需进行网格化。这种方法不仅提高了计算效率，还避免了网格化带来的精度损失。此外，该方法利用球面参数化的无缝性，克服了现有神经表面表示的局限性。
关键设计：论文中关键的设计包括：1) 使用MLP作为神经表面的表示形式，MLP的输入是球面坐标，输出是三维空间中的坐标。2) 基于球面坐标系，推导了表面法线、第一和第二基本形式等几何量的计算公式，这些公式可以直接通过MLP的梯度计算得到。3) 定义了表面梯度、表面散度和Laplace-Beltrami算子等几何算子，这些算子可以用于各种几何处理任务。
🖼️ 关键图片
📊 实验亮点
论文通过实验验证了所提出方法的有效性和鲁棒性。实验结果表明，该方法可以准确地估计表面法线、曲率等几何量，并且在频谱分析、热流和平均曲率流等任务中取得了良好的效果。此外，该方法对等距形状变化具有较强的鲁棒性，表明其具有较好的泛化能力。论文还提供了与分析估计、基于网格的基线和神经替代方案的对比结果，进一步验证了该方法的优越性。
🎯 应用场景
该研究成果可广泛应用于三维几何建模、形状分析、计算机动画、医学图像处理等领域。例如，可以用于对神经表示的三维模型进行编辑、变形、分析和渲染，而无需进行网格化。此外，该方法还可以用于解决医学图像处理中的表面重建和分析问题，例如，对器官表面进行建模和分析，从而辅助疾病诊断和治疗。
📄 摘要（原文）
Neural surfaces (e.g., neural map encoding, deep implicits and neural radiance fields) have recently gained popularity because of their generic structure (e.g., multi-layer perceptron) and easy integration with modern learning-based setups. Traditionally, we have a rich toolbox of geometry processing algorithms designed for polygonal meshes to analyze and operate on surface geometry. In the absence of an analogous toolbox, neural representations are typically discretized and converted into a mesh, before applying any geometry processing algorithm. This is unsatisfactory and, as we demonstrate, unnecessary. In this work, we propose a spherical neural surface representation for genus-0 surfaces and demonstrate how to compute core geometric operators directly on this representation. Namely, we estimate surface normals and first and second fundamental forms of the surface, as well as compute surface gradient, surface divergence and Laplace-Beltrami operator on scalar/vector fields defined on the surface. Our representation is fully seamless, overcoming a key limitation of similar explicit representations such as Neural Surface Maps [Morreale et al. 2021]. These operators, in turn, enable geometry processing directly on the neural representations without any unnecessary meshing. We demonstrate illustrative applications in (neural) spectral analysis, heat flow and mean curvature flow, and evaluate robustness to isometric shape variations. We propose theoretical formulations and validate their numerical estimates, against analytical estimates, mesh-based baselines, and neural alternatives, where available. By systematically linking neural surface representations with classical geometry processing algorithms, we believe that this work can become a key ingredient in enabling neural geometry processing. Code is accessible from the project webpage.