Learning Eigenstructures of Unstructured Data Manifolds

📄 arXiv: 2512.01103v1 📥 PDF

作者: Roy Velich, Arkadi Piven, David Bensaïd, Daniel Cremers, Thomas Dagès, Ron Kimmel

分类: cs.CV

发布日期: 2025-11-30

💡 一句话要点

提出一种直接从非结构化数据学习谱基的框架，用于形状和流形分析。

🎯 匹配领域: 支柱三：空间感知 (Perception & SLAM)

关键词: 谱分析 流形学习 非结构化数据 深度学习 几何处理

📋 核心要点

  1. 传统流形分析方法依赖于算子选择、离散化和特征值求解，计算复杂度高且对数据结构有要求。
  2. 该论文提出一种基于深度学习的框架，直接从非结构化数据中学习谱基，无需显式构建算子。
  3. 实验表明，该方法在点云和高维图像流形上能有效学习到有意义的谱基，且无需数据流形的先验知识。

📝 摘要（中文）

本文提出了一种新颖的框架，可以直接从非结构化数据中学习形状和流形分析的谱基，无需传统算子选择、离散化和特征求解器。该方法基于最优逼近理论，训练一个网络通过最小化学习基中探针函数分布上的重构误差来分解一个隐式逼近算子。对于合适的分布，这些函数可以被视为拉普拉斯算子及其特征分解的近似，这在几何处理中至关重要。此外，我们的方法以统一的方式恢复谱基、隐式度量的采样密度以及底层算子的特征值。值得注意的是，我们的无监督方法对数据流形不做任何假设，例如网格划分或流形维度，使其能够扩展到任意维度的任意数据集。在3D表面上的点云和高维图像流形上，我们的方法产生了有意义的谱基，可以类似于拉普拉斯算子的谱基，而无需显式构建算子。通过用基于学习的方法取代传统的算子选择、构造和特征分解，我们的框架为传统流程提供了一种基于原则的数据驱动的替代方案。这为非结构化数据的几何处理开辟了新的可能性，尤其是在高维空间中。

🔬 方法详解

问题定义：传统几何处理方法，如拉普拉斯算子特征分解，需要预先进行算子选择、离散化等步骤，计算成本高昂，并且对输入数据（如网格）有结构性要求。对于高维或非结构化数据，这些方法难以应用。因此，如何直接从非结构化数据中学习到有效的谱基，用于形状和流形分析，是一个重要的挑战。

核心思路：该论文的核心思路是利用深度学习，将谱基学习问题转化为一个优化问题。通过训练一个神经网络，使其能够从数据中学习到一个隐式的逼近算子，并将其分解为谱基。这种方法避免了传统方法的算子选择和离散化步骤，可以直接处理非结构化数据。

技术框架：整体框架包含以下几个主要部分：1) 数据采样：从输入数据流形上采样点。2) 探针函数生成：根据预定义的分布生成探针函数。3) 网络训练：训练一个神经网络，使其能够将探针函数映射到学习到的谱基上，并最小化重构误差。4) 谱基提取：从训练好的网络中提取学习到的谱基、采样密度和特征值。

关键创新：该方法最重要的创新在于，它将传统的算子构建和特征分解过程，替换为一个基于学习的框架。这使得该方法可以直接处理非结构化数据，并且能够自动学习到适应数据的谱基。此外，该方法还能够同时恢复隐式度量的采样密度和底层算子的特征值。

关键设计：关键设计包括：1) 探针函数的选择：探针函数的分布对学习到的谱基有重要影响。论文中使用了合适的分布，使其能够近似拉普拉斯算子。2) 损失函数的设计：损失函数采用重构误差，即原始探针函数与通过学习到的谱基重构的函数之间的差异。3) 网络结构的选择：网络结构需要能够有效地学习到隐式逼近算子，并将其分解为谱基。具体的网络结构在论文中没有详细描述，属于实现细节。

📊 实验亮点

该方法在3D点云和高维图像流形上进行了实验，结果表明，该方法能够学习到有意义的谱基，类似于拉普拉斯算子的特征向量，而无需显式构建拉普拉斯算子。该方法能够处理非结构化数据，并且能够自动学习到适应数据的谱基，为几何处理提供了一种新的数据驱动的替代方案。具体的性能数据和对比基线在论文中没有明确给出。

🎯 应用场景

该研究成果可应用于三维形状分析、图像流形学习、高维数据降维、以及其他需要谱分析的领域。例如，在计算机辅助设计中，可以用于形状检索和相似性比较；在医学图像分析中，可以用于肿瘤分割和疾病诊断。该方法无需预处理和人工特征提取，降低了应用门槛，具有广泛的应用前景。

📄 摘要（原文）

We introduce a novel framework that directly learns a spectral basis for shape and manifold analysis from unstructured data, eliminating the need for traditional operator selection, discretization, and eigensolvers. Grounded in optimal-approximation theory, we train a network to decompose an implicit approximation operator by minimizing the reconstruction error in the learned basis over a chosen distribution of probe functions. For suitable distributions, they can be seen as an approximation of the Laplacian operator and its eigendecomposition, which are fundamental in geometry processing. Furthermore, our method recovers in a unified manner not only the spectral basis, but also the implicit metric's sampling density and the eigenvalues of the underlying operator. Notably, our unsupervised method makes no assumption on the data manifold, such as meshing or manifold dimensionality, allowing it to scale to arbitrary datasets of any dimension. On point clouds lying on surfaces in 3D and high-dimensional image manifolds, our approach yields meaningful spectral bases, that can resemble those of the Laplacian, without explicit construction of an operator. By replacing the traditional operator selection, construction, and eigendecomposition with a learning-based approach, our framework offers a principled, data-driven alternative to conventional pipelines. This opens new possibilities in geometry processing for unstructured data, particularly in high-dimensional spaces.