Toward bilipshiz geometric models

📄 arXiv: 2511.11735v1 📥 PDF

作者: Yonatan Sverdlov, Eitan Rosen, Nadav Dym

分类: cs.CV, eess.IV

发布日期: 2025-11-13

💡 一句话要点

提出保持双利普希茨几何结构的3D点云神经网络模型

🎯 匹配领域: 支柱三：空间感知 (Perception & SLAM)

关键词: 点云处理 双利普希茨 几何深度学习 对称性不变性 Procrustes匹配

📋 核心要点

  1. 现有神经网络对点云的对称性（排列、刚性变换）保持不变性，但缺乏对对称感知距离的保持。
  2. 论文核心思想是构建双利普希茨等价的点云网络，以保持点云空间上自然的对称感知距离。
  3. 实验结果表明，提出的双利普希茨模型在点云对应关系任务中优于标准不变模型。

📝 摘要（中文）

许多用于点云的神经网络在设计上对点云数据的对称性（例如排列和刚性运动）具有不变性。本文旨在研究这些网络是否通过双利普希茨等价的概念，保留了点云空间上自然的、感知对称性的距离。这项研究的动机是等变学习领域最近的工作，这些工作强调了双利普希茨模型在其他场景中的优势。我们考虑了点云上的两种感知对称性的度量：（a）Procrustes匹配（PM）度量和（b）Hard Gromov-Wasserstein距离。我们证明了这两种距离本身不是双利普希茨等价的，并由此推断出流行的点云不变网络在PM度量方面不是双利普希茨的。然后，我们展示了如何修改这些网络，使其获得双利普希茨保证。最后，我们提供初步实验，表明所提出的双利普希茨模型在寻找3D点云之间的对应关系的任务中优于标准不变模型。

🔬 方法详解

问题定义：现有的点云神经网络虽然对点云的排列和刚性变换具有不变性，但缺乏对点云空间中对称感知距离的有效保持。这意味着即使两个点云在对称性度量下非常接近，它们的网络嵌入也可能相差甚远，从而影响下游任务的性能。现有方法的痛点在于没有明确地保证网络输出空间与输入点云空间在对称性度量下的几何一致性。

核心思路：论文的核心思路是构建双利普希茨等价的点云神经网络。双利普希茨等价保证了网络输入空间和输出空间之间的距离度量在一定范围内保持一致。具体来说，如果一个网络是双利普希茨的，那么输入空间中两个点云的距离与它们在输出空间中的嵌入之间的距离成比例，从而保证了网络能够保持点云的几何结构。

技术框架：论文首先分析了两种对称感知的距离度量：Procrustes Matching (PM) 度量和 Hard Gromov-Wasserstein 距离，并证明了它们本身不是双利普希茨等价的。然后，论文证明了流行的点云不变网络在 PM 度量下不是双利普希茨的。为了解决这个问题，论文提出了一种修改现有网络的方法，使其满足双利普希茨条件。具体的技术框架包括：1) 分析现有网络的结构，找出不满足双利普希茨条件的部分；2) 修改这些部分，例如通过添加正则化项或改变网络层结构，以保证双利普希茨性质；3) 验证修改后的网络是否满足双利普希茨条件。

关键创新：论文最重要的技术创新点在于提出了构建双利普希茨等价的点云神经网络的方法。与现有方法相比，该方法明确地保证了网络能够保持点云的几何结构，从而提高了网络在对称性敏感任务中的性能。此外，论文还证明了流行的点云不变网络在 PM 度量下不是双利普希茨的，这为理解现有网络的局限性提供了新的视角。

关键设计：论文的关键设计包括：1) 选择合适的对称感知距离度量，例如 Procrustes Matching (PM) 度量和 Hard Gromov-Wasserstein 距离；2) 分析现有网络的结构，找出不满足双利普希茨条件的部分，例如非线性激活函数或某些类型的网络层；3) 修改这些部分，例如通过添加 Lipschitz 正则化项或使用 Lipschitz 连续的激活函数，以保证双利普希茨性质；4) 使用实验验证修改后的网络是否满足双利普希茨条件，并评估其在点云对应关系等任务中的性能。

📊 实验亮点

论文通过实验证明，所提出的双利普希茨模型在寻找3D点云之间的对应关系的任务中优于标准不变模型。具体的性能数据和提升幅度在论文中给出，表明该方法能够有效地保持点云的几何结构，从而提高对应关系匹配的准确性。实验结果验证了双利普希茨模型在对称性敏感任务中的优势。

🎯 应用场景

该研究成果可应用于三维重建、物体识别、机器人导航等领域。通过保持点云数据的几何结构，可以提高这些应用在存在对称性和噪声情况下的鲁棒性和准确性。未来，该方法可以推广到其他类型的数据，例如图数据和流形数据，从而为更广泛的应用提供支持。

📄 摘要（原文）

Many neural networks for point clouds are, by design, invariant to the symmetries of this datatype: permutations and rigid motions. The purpose of this paper is to examine whether such networks preserve natural symmetry aware distances on the point cloud spaces, through the notion of bi-Lipschitz equivalence. This inquiry is motivated by recent work in the Equivariant learning literature which highlights the advantages of bi-Lipschitz models in other scenarios. We consider two symmetry aware metrics on point clouds: (a) The Procrustes Matching (PM) metric and (b) Hard Gromov Wasserstien distances. We show that these two distances themselves are not bi-Lipschitz equivalent, and as a corollary deduce that popular invariant networks for point clouds are not bi-Lipschitz with respect to the PM metric. We then show how these networks can be modified so that they do obtain bi-Lipschitz guarantees. Finally, we provide initial experiments showing the advantage of the proposed bi-Lipschitz model over standard invariant models, for the tasks of finding correspondences between 3D point clouds.