Proving Olympiad Inequalities by Synergizing LLMs and Symbolic Reasoning

📄 arXiv: 2502.13834v3 📥 PDF

作者: Zenan Li, Zhaoyu Li, Wen Tang, Xian Zhang, Yuan Yao, Xujie Si, Fan Yang, Kaiyu Yang, Xiaoxing Ma

分类: cs.AI

发布日期: 2025-02-19 (更新: 2025-02-27)

备注: Published as a conference paper at ICLR 2025. Code is available at https://github.com/Lizn-zn/NeqLIPS/

💡 一句话要点

提出一种神经符号方法，结合LLM与符号推理，解决奥林匹克不等式证明难题。

🎯 匹配领域: 支柱九：具身大模型 (Embodied Foundation Models)

关键词: 神经符号推理 大型语言模型 定理证明 奥林匹克不等式 符号计算

📋 核心要点

  1. 基于LLM的定理证明面临策略空间巨大和训练数据有限的挑战，难以有效生成证明步骤。
  2. 提出神经符号策略生成器，结合LLM的数学直觉和符号方法的领域知识，协同完成证明。
  3. 在奥林匹克不等式证明上，该方法无需额外训练数据，显著优于现有LLM和符号方法。

📝 摘要（中文）

大型语言模型（LLM）可以通过在证明系统中生成证明步骤（即策略）来形式化地证明数学定理。然而，可能的策略空间巨大且复杂，而可用于形式化证明的训练数据有限，这对基于LLM的策略生成提出了重大挑战。为了解决这个问题，我们引入了一种神经符号策略生成器，它将LLM学习到的数学直觉与符号方法编码的领域特定见解相结合。这种集成的关键在于识别数学推理的哪些部分最适合LLM，哪些部分最适合符号方法。虽然神经符号集成的高级思想广泛适用于各种数学问题，但在本文中，我们特别关注奥林匹克不等式。我们分析了人类如何解决这些问题，并将这些技术提炼为两种类型的策略：（1）缩放，由符号方法处理；（2）重写，由LLM处理。此外，我们将符号工具与LLM相结合，以修剪和排序证明目标，从而实现高效的证明搜索。我们在来自多个数学竞赛的161个具有挑战性的不等式上评估了我们的框架，实现了最先进的性能，并且在不需要额外训练数据的情况下，显著优于现有的LLM和符号方法。

🔬 方法详解

问题定义：论文旨在解决奥林匹克不等式证明问题。现有方法，如纯粹基于LLM或纯粹基于符号推理的方法，在处理这类问题时存在局限性。LLM缺乏精确的数学推理能力，而符号方法则难以处理复杂的策略选择。

核心思路：核心思路是将LLM的优势（模式识别、直觉）与符号推理的优势（精确计算、逻辑推导）结合起来，形成一个互补的系统。通过分析人类解决奥林匹克不等式的方法，将问题分解为适合LLM和符号方法分别处理的子任务。

技术框架：整体框架包含以下几个主要模块：1) 问题输入：将奥林匹克不等式问题输入系统。2) 策略生成：使用神经符号策略生成器，生成两种类型的策略：缩放（scaling）和重写（rewriting）。缩放策略由符号方法处理，重写策略由LLM处理。3) 证明目标修剪和排序：结合符号工具和LLM，对证明目标进行修剪和排序，以提高证明搜索的效率。4) 证明搜索：在修剪和排序后的证明目标上进行搜索，找到完整的证明路径。

关键创新：最重要的创新点在于神经符号策略生成器的设计，它能够根据问题的特点，动态地选择使用LLM或符号方法来生成策略。这种混合方法充分利用了LLM和符号方法的优势，克服了各自的局限性。此外，结合符号工具和LLM进行证明目标修剪和排序也是一个重要的创新，它能够显著提高证明搜索的效率。

关键设计：论文的关键设计包括：1) 如何将奥林匹克不等式证明问题分解为适合LLM和符号方法分别处理的子任务。2) 如何设计LLM来生成重写策略，包括LLM的架构、训练数据和推理方法。3) 如何设计符号方法来处理缩放策略，包括符号规则的定义和应用。4) 如何结合符号工具和LLM来修剪和排序证明目标，包括使用哪些符号特征和LLM特征。

🖼️ 关键图片

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📊 实验亮点

该框架在161个奥林匹克不等式上进行了评估，取得了state-of-the-art的性能，显著优于现有的LLM和符号方法，且无需额外的训练数据。具体性能数据未知，但结果表明该方法在解决复杂数学问题方面具有显著优势。

🎯 应用场景

该研究成果可应用于自动化定理证明、数学问题求解、AI辅助教育等领域。通过结合LLM和符号推理，可以开发出更强大的数学问题求解系统，帮助数学家和学生解决复杂的数学问题。此外，该方法还可以推广到其他需要逻辑推理和知识表示的领域，如程序验证、知识图谱推理等。

📄 摘要（原文）

Large language models (LLMs) can prove mathematical theorems formally by generating proof steps (\textit{a.k.a.} tactics) within a proof system. However, the space of possible tactics is vast and complex, while the available training data for formal proofs is limited, posing a significant challenge to LLM-based tactic generation. To address this, we introduce a neuro-symbolic tactic generator that synergizes the mathematical intuition learned by LLMs with domain-specific insights encoded by symbolic methods. The key aspect of this integration is identifying which parts of mathematical reasoning are best suited to LLMs and which to symbolic methods. While the high-level idea of neuro-symbolic integration is broadly applicable to various mathematical problems, in this paper, we focus specifically on Olympiad inequalities (Figure~1). We analyze how humans solve these problems and distill the techniques into two types of tactics: (1) scaling, handled by symbolic methods, and (2) rewriting, handled by LLMs. In addition, we combine symbolic tools with LLMs to prune and rank the proof goals for efficient proof search. We evaluate our framework on 161 challenging inequalities from multiple mathematics competitions, achieving state-of-the-art performance and significantly outperforming existing LLM and symbolic approaches without requiring additional training data.